第7章立体几何第5讲A组基础关1．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是()A．AB∥mB．AC⊥mC．AB∥βD．AC⊥β答案D解析如图所示，AB∥l∥m；AC⊥l，m∥l⇒AC⊥m；AB∥l⇒AB∥β，只有D不一定成立，故选D.2．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，那么，在这个空间图形中必有()A．AG⊥平面EFHB．AH⊥平面EFHC．HF⊥平面AEFD．HG⊥平面AEF答案B解析根据折叠前、后AH⊥HE，AH⊥HF不变，∴AH⊥平面EFH，B正确； 过A只有一条直线与平面EFH垂直，∴A不正确； AG⊥EF，EF⊥GH，AG∩GH＝G，∴EF⊥平面HAG，又EF⊂平面AEF，∴平面HAG⊥AEF，过H作直线垂直于平面AEF，一定在平面HAG内，∴C不正确；已证平面HAG⊥平面AEF，若证HG⊥平面AEF，只需证HG⊥AG，已证AH⊥HG，故HG⊥AG不成立，所以HG与平面AEF不垂直，∴D不正确．故选B.3.如图，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论正确的是()1A．PB⊥ADB．平面PAB⊥平面PBCC．直线BC∥平面PAED．直线PD与平面ABC所成的角为45°答案D解析选项A，B，C显然错误． PA⊥平面ABC，∴∠PDA是直线PD与平面ABC所成的角． ABCDEF是正六边形，∴AD＝2AB. tan∠PDA＝＝＝1，∴直线PD与平面ABC所成的角为45°.故选D.4．(2017·江西南昌摸底)如图，在四面体ABCD中，已知AB⊥AC，BD⊥AC，那么点D在平面ABC内的射影H必在()A．直线AB上B．直线BC上C．直线AC上D．△ABC内部答案A解析因为AB⊥AC，BD⊥AC，AB∩BD＝B，所以AC⊥平面ABD，又AC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面ABD，所以点D在平面ABC内的射影H必在直线AB上．故选A.5．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是C1C的中点，则直线BE与平面B1BD所成的角的正弦值为()2A．－B.C．－D.答案B解析如图，延长BE与B1C1的延长线交于点F，连接FD1，因为E为C1C的中点，四边形BCC1B1是正方形，所以C1F＝B1C1＝BC，所以∠C1D1F＝∠C1D1B1＝45°，所以FD1⊥B1D1，易证FD1⊥平面BB1D1D.所以∠BFD1是直线BE与平面B1BD所成的角．设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，则D1F＝B1D1＝a.BF＝＝a，所以sin∠BFD1＝＝＝.6．如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱长为2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D是A1B1的中点，F是BB1上的动点，AB1，DF交于点E.要使AB1⊥平面C1DF，则线段B1F的长为()A.B．1C.D．2答案A解析设B1F＝x，因为AB1⊥平面C1DF，DF⊂平面C1DF，所以AB1⊥DF.3由已知可以得A1B1＝，矩形ABB1A1中，tan∠FDB1＝，tan∠A1AB1＝＝.又∠FDB1＝∠A1AB1，所以＝.故B1F＝×＝.故选A.7．已知正方体ABCD－A1B1C1D1，点E，F，G分别是线段DC，D1D和D1B上的动点，给出下列结论：①对于任意给定的点E，存在点F，使得AF⊥A1E；②对于任意给定的点F，存在点E，使得AF⊥A1E；③对于任意给定的点G，存在点F，使得AF⊥B1G；④对于任意给定的点F，存在点G，使得AF⊥B1G.其中正确结论的个数是()A．0B．1C．2D．3答案C解析因为DE⊥平面A1D，根据三垂线定理，对于任意给定的点E，A1E在平面A1D的射影为A1D，所以存在点F，使得AF⊥A1D，所以AF⊥A1E，①正确；如果对于任意给定的点F，存在点E，使得AF⊥A1E；那么AF⊥A1D，又AD1⊥A1D，得到过A有两条直线与A1D垂直，故②错误；只有AF垂直B1G在平面BCC1B1中的射影时，AF⊥B1G，所以当G位于D1B的上半部分时，在D1D上不存在F点，使AF垂直B1G在平面BCC1B1中的射影，③错误；对任意给定的点F，存在平面BCC1B1上的线段B1G′和AF垂直，且B1G′为B1G的投影，所以④正确，所以C正确．8．如图，平面ABC⊥平面BDC，∠BAC＝∠BDC＝90°，且AB＝AC＝a，则AD＝________.4答案a解析作BC中点E，连接AE，DE，则在Rt△ABC中，AB＝AC＝a，由勾股定理得BC＝2AE＝a，且有AE⊥BC，又平面ABC⊥平面BDC，平面ABC∩平面BDC＝BC且直线AE在平面ABC内，∴由面面垂直的性质定理得AE⊥平面BCD， DE⊂平面BCD内，∴AE⊥DE，又在Rt△BCD中，点E是BC的中点，∴DE＝＝a，∴在Rt△ADE中，AE＝a，由勾股定理得AD＝＝...
