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高中数学 第四讲 数学归纳法证明不等式 一 数学归纳法优化练习 新人教A版选修4-5-新人教A版高二选修4-5数学试题VIP免费

高中数学 第四讲 数学归纳法证明不等式 一 数学归纳法优化练习 新人教A版选修4-5-新人教A版高二选修4-5数学试题_第1页
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一数学归纳法[课时作业][A组基础巩固]1.用数学归纳法证明当n∈N+时,1+2+22+…+25n-1是31的倍数时,当n=1时原式为()A.1B.1+2C.1+2+3+4D.1+2+22+23+24解析:左边=1+2+22+…+25n-1,所以n=1时,应为1+2+…+25×1-1=1+2+22+23+24.答案:D2.记凸k边形的内角和为f(k),则凸k+1边形的内角和f(k+1)=f(k)+()A.B.πC.2πD.π答案:B3.已知f(n)=(2n+7)·3n+9,存在自然数m,使得对任意n∈N+,都能使m整除f(n),则最大的m的值为()A.30B.26C.36D.6解析:f(1)=36,f(2)=108=3×36,f(3)=360=10×36,易知f(n)能被36整除,且36为m的最大值.答案:C4.某同学回答“用数学归纳法证明1)时,第一步应验证n=________时,命题成立,当n=k+1时左边的式子为________.解析:由于n>1,1∴第一步应验证n=2时,命题成立,当n=k+1时,左边的式子应为22+32+…+k2+(k+1)2.答案:222+32+…+k2+(k+1)27.用数学归纳法证明“5n-2n能被3整除”的第二步中,当n=k+1时,为了使用归纳假设应将5k+1-2k+1变形为________.解析:假设当n=k时,5k-2k能被3整除,则n=k+1时,5k+1-2k+1=5(5k-2k)+3·2k由假设知5k-2k能被3整除,3·2k能被3整除.故5·(5k-2k)+3·2k能被3整除.答案:5·(5k-2k)+3·2k8.设平面内有n条直线(n≥2),其中有且仅有两条直线互相平行,任意三条直线不过同一点.若用f(n)表示这n条直线交点的个数,则f(4)=________;当n>4时,f(n)=________(用n表示).解析:f(2)=0,f(3)=2,f(4)=5,f(5)=9,每增加一条直线,交点增加的个数等于原来直线的条数.所以f(3)-f(2)=2,f(4)-f(3)=3,f(5)-f(4)=4,…,f(n)-f(n-1)=n-1.累加,得f(n)-f(2)=2+3+4+…+(n-1)=(n-2).所以f(n)=(n+1)(n-2).答案:5(n+1)(n-2)9.用数学归纳法证明:1+4+7+…+(3n-2)=n(3n-1)(n∈N+).证明:(1)当n=1时,左边=1,右边=1,∴当n=1时命题成立.(2)假设当n=k(k∈N+,k≥1)时命题成立,即1+4+7+…+(3k-2)=k(3k-1).当n=k+1时,1+4+7+…+(3k-2)+[3(k+1)-2]=k(3k-1)+(3k+1)=(3k2+5k+2)=(k+1)(3k+2)=(k+1)[3(k+1)-1]即当n=k+1时命题成立.综上(1)(2)知,对于任意n∈N+原命题成立.10.证明对任意正整数n,34n+2+52n+1能被14整除.证明:(1)当n=1时,34n+2+52n+1=36+53=854=14×61能被14整除,命题成立.(2)假设当n=k时命题成立,即34k+2+52k+1能被14整除,那么当n=k+1时,34(k+1)+2+52(k+1)+1=34k+2×34+52k+1×52=34k+2×34+52k+1×34-52k+1×34+52k+1×52=34(34k+2+52k+1)-52k+1(34-52)=34(34k+2+52k+1)-56×52k+1,因34k+2+52k+1能被14整除,56也能被14整除,所以34(k+1)+2+52(k+1)+1能被14整除,故命题成立.由(1)(2)知,命题对任意正整数n都成立.2[B组能力提升]1.用数学归纳法证明“1+2+22+…+2n-1=2n-1(n∈N*)”的过程中,第二步假设n=k时等式成立,则当n=k+1时应得到()A.1+2+22+…+2k-2+2k+1=2k+1-1B.1+2+22+…+2k+2k+1=2k-1+2k+1C.1+2+22+…+2k-1+2k+1=2k+1-1D.1+2+22+…+2k-1+2k=2k+1-1...

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