高中数学 第四讲 数学归纳法证明不等式 一 数学归纳法优化练习 新人教A版选修4-5-新人教A版高二选修4-5数学试题VIP免费

一数学归纳法[课时作业][A组基础巩固]1．用数学归纳法证明当n∈N＋时，1＋2＋22＋…＋25n－1是31的倍数时，当n＝1时原式为()A．1B．1＋2C．1＋2＋3＋4D．1＋2＋22＋23＋24解析：左边＝1＋2＋22＋…＋25n－1，所以n＝1时，应为1＋2＋…＋25×1－1＝1＋2＋22＋23＋24.答案：D2．记凸k边形的内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和f(k＋1)＝f(k)＋()A.B．πC．2πD．π答案：B3．已知f(n)＝(2n＋7)·3n＋9，存在自然数m，使得对任意n∈N＋，都能使m整除f(n)，则最大的m的值为()A．30B．26C．36D．6解析：f(1)＝36，f(2)＝108＝3×36，f(3)＝360＝10×36，易知f(n)能被36整除，且36为m的最大值．答案：C4．某同学回答“用数学归纳法证明1)时，第一步应验证n＝________时，命题成立，当n＝k＋1时左边的式子为________．解析：由于n>1，1∴第一步应验证n＝2时，命题成立，当n＝k＋1时，左边的式子应为22＋32＋…＋k2＋(k＋1)2.答案：222＋32＋…＋k2＋(k＋1)27．用数学归纳法证明“5n－2n能被3整除”的第二步中，当n＝k＋1时，为了使用归纳假设应将5k＋1－2k＋1变形为________．解析：假设当n＝k时，5k－2k能被3整除，则n＝k＋1时，5k＋1－2k＋1＝5(5k－2k)＋3·2k由假设知5k－2k能被3整除，3·2k能被3整除．故5·(5k－2k)＋3·2k能被3整除．答案：5·(5k－2k)＋3·2k8．设平面内有n条直线(n≥2)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用f(n)表示这n条直线交点的个数，则f(4)＝________；当n>4时，f(n)＝________(用n表示)．解析：f(2)＝0，f(3)＝2，f(4)＝5，f(5)＝9，每增加一条直线，交点增加的个数等于原来直线的条数．所以f(3)－f(2)＝2，f(4)－f(3)＝3，f(5)－f(4)＝4，…，f(n)－f(n－1)＝n－1.累加，得f(n)－f(2)＝2＋3＋4＋…＋(n－1)＝(n－2)．所以f(n)＝(n＋1)(n－2)．答案：5(n＋1)(n－2)9．用数学归纳法证明：1＋4＋7＋…＋(3n－2)＝n(3n－1)(n∈N＋)．证明：(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝1，∴当n＝1时命题成立．(2)假设当n＝k(k∈N＋，k≥1)时命题成立，即1＋4＋7＋…＋(3k－2)＝k(3k－1)．当n＝k＋1时，1＋4＋7＋…＋(3k－2)＋[3(k＋1)－2]＝k(3k－1)＋(3k＋1)＝(3k2＋5k＋2)＝(k＋1)(3k＋2)＝(k＋1)[3(k＋1)－1]即当n＝k＋1时命题成立．综上(1)(2)知，对于任意n∈N＋原命题成立．10．证明对任意正整数n,34n＋2＋52n＋1能被14整除．证明：(1)当n＝1时，34n＋2＋52n＋1＝36＋53＝854＝14×61能被14整除，命题成立．(2)假设当n＝k时命题成立，即34k＋2＋52k＋1能被14整除，那么当n＝k＋1时，34(k＋1)＋2＋52(k＋1)＋1＝34k＋2×34＋52k＋1×52＝34k＋2×34＋52k＋1×34－52k＋1×34＋52k＋1×52＝34(34k＋2＋52k＋1)－52k＋1(34－52)＝34(34k＋2＋52k＋1)－56×52k＋1，因34k＋2＋52k＋1能被14整除，56也能被14整除，所以34(k＋1)＋2＋52(k＋1)＋1能被14整除，故命题成立．由(1)(2)知，命题对任意正整数n都成立．2[B组能力提升]1．用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N*)”的过程中，第二步假设n＝k时等式成立，则当n＝k＋1时应得到()A．1＋2＋22＋…＋2k－2＋2k＋1＝2k＋1－1B．1＋2＋22＋…＋2k＋2k＋1＝2k－1＋2k＋1C．1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＋1＝2k＋1－1D．1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k＋1－1...