2016-2017学年高中数学第一章导数及其应用1.3.1函数的单调性与导数高效测评新人教A版选修2-2一、选择题(每小题5分，共20分)1．下列函数中，在(2，＋∞)内为增函数的是()A．3sinxB．(x－3)exC．x3－15xD．lnx－x解析：(3sinx)′＝3cosx，[(x－3)ex]′＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝(x－2)ex，(x3－15x)′＝3x2－15，(lnx－x)′＝－1，当x>2时，只有[(x－3)ex]′>0恒成立，故选B.答案：B2．已知函数f(x)＝＋lnx，则有()A．f(e)
0，∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数，又2x0时，f′(x)>0，即f(x)单调递增．显然f(x0)－1，∴b≤－1.答案：(－∞，－1]6．设f(x)＝ax3＋x恰有三个单调区间，则a的取值范围是__________.解析：f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝3ax2＋1.若a>0，则f′(x)>0，x∈(－∞，＋∞)，此时，f(x)只有一个单调区间，与已知矛盾；若a＝0，则f(x)＝x，此时，f(x)也只有一个单调区间，亦与已知矛盾；若a<0，则f′(x)＝3a，综上可知a<0时，f(x)恰有三个单调区间．答案：(－∞，0)三、解答题(每小题10分，共20分)7．求下列函数的单调区间：(1)f(x)＝x－x3；(2)f(x)＝x2－lnx.解析：(1)f′(x)＝1－3x2，令1－3x2>0，解得－.因此，函数f(x)的单调减区间为，.(2)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．f′(x)＝2x－＝.因为x>0，所以x＋1>0，由f′(x)>0，解得x>，所以函数f(x)的单调递增区间为；由f′(x)<0，解得x<，又x∈(0，＋∞)，所以函数f(x)的单调递减区间为.8．(2014·济宁高二期末)求函数f(x)＝(a＋1)lnx＋ax2＋1的单调区间．解析：f(x)的定义域为(0，＋∞)．f′(x)＝＋2ax＝.当a≥0时，f′(x)>0，故f(x)在(0，＋∞)单调递增．当a≤－1时，f′(x)<0，故f(x)在(0，＋∞)单调递减．当－10；x∈时，f′(x)<0.故f(x)在上单调递增，在上单调递减．☆☆☆9．(10分)已知函数f(x)＝x3－ax－1.(1)若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；2(2)是否存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．解析：(1)由已知f′(x)＝3x2－a.∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，∴f′(x)＝3x2－a≥0在(－∞，＋∞)上恒成立．即a≤3x2对x∈R恒成立．∵3x2≥0，∴只要a≤0.又∵a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，∴f(x)＝x3－1在R上是增函数，∴a≤0.(2)由f′(x)＝3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立．∴a≥3x2在x∈(－1,1)上恒成立．又∵－1
