§3.2导数的应用(一)1．函数的单调性与导数在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内____________；如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间内____________；如果在某个区间内恒有f′(x)＝0，那么函数f(x)在这个区间上是________．2．函数的极值与导数(1)判断f(x0)是极大值，还是极小值的方法：一般地，当f′(x0)＝0时，①如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值；②如果在x0附近的左侧，右侧，那么f(x0)是极小值．(2)求可导函数极值的步骤：①求f′(x)；②求方程的根；③检查f′(x)在上述根的左右对应函数值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得．3．函数的最值与导数(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则__________为函数在[a，b]上的最小值，为函数在[a，b]上的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则________为函数在[a，b]上的最大值，________为函数在[a，b]上的最小值．(3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：①求f(x)在(a，b)内的极值；②将f(x)的各极值与端点处的函数值______，______进行比较，其中最大的一个是________，最小的一个是________．自查自纠1．单调递增单调递减常数函数2．(1)②f′(x)＜0f′(x)＞0(2)②f′(x)＝0③极大值极小值3．(2)f(a)f(b)f(a)f(b)(3)②f(a)f(b)最大值最小值关于函数的极值，下列说法正确的是()A．导数为0的点一定是函数的极值点B．函数的极小值一定小于它的极大值C．f(x)在定义域内最多只能有一个极大值，一个极小值D．若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内不是单调函数解：导数为0的点不一定是极值点(如y＝x3，在x＝0处)，而极值点的导数一定为0.极值是局部概念，因此极小值可能有多个且有可能大于极大值．极值点是单调性的转折点故选D.()函数f(x)＝x2－2lnx的单调递减区间是()A．(0，1)B．(1，＋∞)C．(－∞，1)D．(－1，1)解： f′(x)＝2x－＝(x＞0)．∴当x∈(0，1)时f′(x)＜0，f(x)为减函数；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)为增函数．故选A.设函数f(x)＝2xex－1，则()A．x＝1为f(x)的极大值点B．x＝1为f(x)的极小值点C．x＝－1为f(x)的极大值点D．x＝－1为f(x)的极小值点解：求导得f′(x)＝2ex＋2xex＝2ex(x＋1)，令f′(x)＝2ex(x＋1)＝0，解得x＝－1，易知x＝－1是函数f(x)的极小值点．故选D.已知f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上是增函数，则a的最大值是________．解：f′(x)＝3x2－a，令3x2－a≥0，即a≤3x2在[1，＋∞)上恒成立，得a≤3，即a的最大值是3.故填3.函数f(x)＝x＋2cosx，x∈的最大值是________．解：f′(x)＝1－2sinx，令f′(x)＝0得sinx＝，从而x＝，当x∈时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；当x∈时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，所以f(x)在x＝处取得极大值，即最大值＋.故填＋.类型一导数法判断函数的单调性已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则其导函数y＝f′(x)的图象可能是()解：由题意得函数y＝f(x)在(0，＋∞)上单调递减，则其导函数在(0，＋∞)上恒小于0，排除B，D；又 函数y＝f(x)在(－∞，0)上先单调递增，后单调递减，再单调递增，则其导函数在(－∞，0)上先大于0，后小于0，再大于0，排除C，故选A.【点拨】导函数的图象在哪个区间位于x轴上方(下方)，说明导函数在该区间大于0(小于0)，那么它对应的原函数在那个区间就单调递增(单调递减)．()如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，则下面判断正确的是()A．在(－2，1)上f(x)是增函数B．在(1，3)上f(x)是减函数C．当x＝2时，f(x)取极大值D．当x＝4时，f(x)取极大值解：由y＝f′(x)的图象可得y＝f(x)的大致图象如图．由图可知，A，B，D均错．故选C.类型二导数法研究函数的单调性()已知函数f(x)＝－－ax(a∈R)．(1)当a＝时，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在[－1，1]上为单调函数，求实数a的取值范围．解：(1)当a＝时，f(x)＝－－x，f′(x)＝[(ex)2－3ex＋2]＝(ex－1)(ex－2)，令f′(x)＝0，得ex＝1或ex＝2，即x＝0或x...
