3.1.4空间向量的直角坐标运算课时过关·能力提升1.已知点B是点A(3,7,-4)在xOz平面上的射影,则¿⃗OB∨2=()A.(9,0,16)B.25C.5D.13解析:由题意,得B(3,0,-4),∴¿⃗OB∨2=32+02+(−4)2=25.答案:B2.已知A(3,3,1),B(1,0,5),C(0,1,0),则AB的中点M到点C的距离¿⃗CM∨¿()A.√534B.532C.√532D.√132解析:由题意,得M(2,32,3),则⃗CM=(2,12,3),所以∨⃗CM∨¿√22+(12)2+32=√532.答案:C3.已知a=(2,-1,2),b=(2,2,1),则以a,b为邻边的平行四边形的面积为()A.√65B.√652C.4D.8解析:∵|a|¿√22+(-1)2+22=3,∨¿b|=3,∴cos
¿49,∴sin<¿a,b>¿√659,∴S=|a||b|sin¿√65.答案:A4.已知a=(cosα,1,sinα),b=(sinα,1,cosα),则a+b与a-b的夹角是()A.90°B.60°C.30°D.0°解析:(a+b)·(a-b)=a2-b2=cos2α+12+sin2α-(sin2α+12+cos2α)=0,故a+b与a-b的夹角是90°.答案:A★5.已知a=(2,4,5),b=(3,x,y),若a∥b,则()A.x=6,y=15B.x=3,y¿152C.x=3,y=15D.x=6,y¿152解析:a∥b⇔23=4x=5y⇒{x=6,y=152.1答案:D6.已知在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,⃗AB=¿a=(2,1,-1),⃗AD=¿b=(1,-2,1),⃗AA1=¿c=(1,1,1),则¿⃗AC1∨¿.解析:∵⃗AC1=¿a+b+c=(2,1,-1)+(1,-2,1)+(1,1,1)=(4,0,1),∴¿⃗AC1∨¿√42+02+12=√17.答案:√177.已知三点P1(-x,1,-3),P2(2,y,-1),P3(-3,0,z),若⃗P1P3=35⃗P3P2,则x=,y=,z=.解析:由已知条件得,(-3+x,0-1,z+3)¿35(2+3,y−0,−1−z),解得x=6,y=−53,z=−94.答案:6−53−948.已知点A(1,0,0),B(3,1,1),C(2,0,1),且⃗BC=¿a,⃗CA=¿b,则=.解析:由题中条件得a=(-1,-1,0),b=(-1,0,-1).故cos¿a·b|a||b|¿1√(-1)2+(-1)2+02×√(-1)2+02+(-1)2¿12,所以=60°.答案:60°9.设空间两个单位向量⃗OA=(m,n,0),⃗OB=(0,n,p)与⃗OC=(1,1,1)的夹角都等于π4,cos求∠AOB.解:由题意得,{m2+n2=1,n2+p2=1,cosπ4=m+n√m2+n2×√3,cosπ4=n+p√n2+p2×√3,解得n¿√6±√24,2故cos∠AOB¿⃗OA·⃗OB|⃗OA||⃗OB|=n2=2±√34.★10.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AA1的中点,问当点N位于AB何处时,MN⊥MC1?解:以A为坐标原点,棱AB,AD,AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为a,则M(0,0,a2),C1(a,a,a),N(x,0,0),所以⃗MC1=(a,a,a2),⃗MN=(x,0,-a2).因为MN⊥MC1,所以⃗MN·⃗MC1=xa−a24=0,得x¿a4.所以点N的坐标为(a4,0,0),即N为AB的四等分点且靠近点A时,MN⊥MC1.3
