习题课——利用导数研究函数的单调性课后训练案巩固提升1.若函数f(x)=2x3+ax2+1在区间(-∞,0)和(2,+∞)内单调递增,在区间(0,2)内单调递减,则a的值为()A.1B.2C.-6D.-12解析:由于f'(x)=6x2+2ax,令6x2+2ax<0,当a>0时,解得-a3f(x),则f(2017)与e·f(2016)的大小关系为()A.f(2017)e·f(2016)D.不能确定解析:构造函数g(x)=f(x)ex,则g'(x)=f'(x)-f(x)ex,因为f'(x)>f(x),所以g'(x)>0,即函数g(x)在R上为增函数,则f(2017)e2017>f(2016)e2016,f(2017)>e·f(2016).答案:C4.(2016甘肃兰州高二月考)已知函数f(x)=lnx-14ax2-x,若在区间(1,2)内任意两个实数p,q(p≠q),不等式f(p)-f(q)p-q>0恒成立,则实数a的取值范围为()A.(-∞,2]B.(-∞,-12]1C.(-∞,0]D.[12,+∞)解析:任意两个实数p,q(p≠q),不等式f(p)-f(q)p-q>0恒成立,即函数f(x)在(1,2)上单调递增,因此当x∈(1,2)时,f'(x)≥0恒成立,即1x−12ax-1≥0恒成立,由此得a≤2x2−2x,而g(x)=2x2−2x在(1,2)上满足g(x)>-12,所以a≤-12.答案:B5.定义在R上的偶函数f(x)的导函数为f'(x),若对任意的实数x,都有2f(x)+xf'(x)<2恒成立,则使x2f(x)-f(1)0时,在2f(x)+xf'(x)<2两边同时乘以x得,2xf(x)+x2f'(x)-2x<0,设g(x)=x2f(x)-x2,则g'(x)=2xf(x)+x2f'(x)-2x<0恒成立,所以g(x)在(0,+∞)上单调递减.由x2f(x)-f(1)1.当x<0时,函数是偶函数,同理可得x<-1.综上可知,实数x的取值范围是(-∞,-1)∪(1,+∞),故选B.答案:B6.(2016青海西宁高二月考)若函数g(x)=x3-ax2+1在区间[1,2]上单调递减,则实数a的取值范围是.解析:因为g(x)=x3-ax2+1在区间[1,2]上单调递减,所以g'(x)=3x2-2ax≤0在区间[1,2]上恒成立,即2a≥3x在区间[1,2]上恒成立.记f(x)=3x,x∈[1,2],则f(x)max=f(2)=6,所以2a≥f(x)max=6,所以a≥3.所以实数a的取值范围是[3,+∞).答案:[3,+∞)7.若函数f(x)=ax3+x恰有三个单调区间,则a的取值范围是.解析:法一:由于f'(x)=3ax2+1,当a≥0时,显然有f'(x)>0,即函数在R上单调递增,不符合题意;当a<0时,由f'(x)>0,得-√-13a√-13a,这时函数恰有三个单调区间,故a的取值范围是a<0.法二:∵函数f(x)恰有三个单调区间,∴f'(x)=3ax2+1=0有两个不同实数解.∴Δ=-4·3a>0,得a<0.答案:a<08.已知f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,且当x<0时有f'(x)g(x)+f(x)g'(x)>0,g(-4)=0,则不等式f(x)g(x)<0的解集是.解析:若设h(x)=f(x)g(x),则由f'(x)g(x)+f(x)g'(x)>0得h'(x)>0,因此函数h(x)在(-∞,0)上是增函数.2又因为f(x),g(x)分别是奇函数和偶函数,所以h(x)是一个奇函数,故h(x)在(0,+∞)上也是增函数,且h(4)=-h(-4)=0,所以当x<-4或00时,2a>0,若x∈(-∞,0)时,则f'(x)>0,所以f(x)在(-∞,0)上是增函数;若x∈(0,2a),则f'(x)<0,所以f(x)在(0,2a)上是减函数;若x∈(2a,+∞),则f'(x)>0,所以f(x)在(2a,+∞)上是增函数.(2)当a<0时,2a<0,若x∈(-∞,2a),则f'(x)<0,所以f(x)在(-∞,2a)上是减函数;若x∈(2a,0),则f'(x)>0,所以f(x)在(2a,0)上是增函数;若x∈(0,+∞),则f'(x)<0,所以f(x)在(0,+∞)上是减函数.综上可知:当a>0时,函数f(x)在(-∞,0)上是增函数,在(0,2a)上是减函数,在(2a,+∞)上是增函数;3当a<0时,函数f(x)在(-∞,2a)上是减函数,在(2a,0)上是增函数,在(0,+∞)上是减函数.10.导学号59254047(2016广德高二检测)已知函数f(x)=x2+2alnx.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)若函数g(x)=2x+f(x)在[1,2]上是减函数,求实数a的取值范围.解:(1)f'(x)=2x+2ax=2x2+2ax,函数f(x)的定义域为(0,+∞).①当a≥0时,f'(x)>0,f(x)的单调递增区间为(0,+∞);②当a<0时f'(x)=2(x+√-a)(x-√-a)x.当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下:x(0,√-a)√-a(√-a,+∞)f'(x)-0+f(x)单调递减↘单调递增↗由表格可知,函数f(x)的单调递减区间是(0,√-a);单调递增区间是(√-a,+∞).(2)由g(x)=2x+x2+2alnx,得g'(x)=-2x2+2x+2ax.由已知函数g(x)为[1,2]上的单调减函数,则g'(x)≤0在[1,2]上恒成立,即-2x2+2x+2ax≤0在[1,2]上恒成立.即a≤1x-x2在[1,2]上恒成立.令h(x)=1x-x2,x∈[1,2],则h'(x)=-1x2-2x=-(1x2+2x)<0,因此h(x)在[1,2]上为减函数,h(x)min=h(2)=-72,所以a≤-72,故a的取值范围为(-∞,-72].45
