高考数学 玩转压轴题 专题2.6 欲证不等恒成立 差值函数求值域-人教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

专题2.6欲证不等恒成立差值函数求值域【题型综述】利用导数解决不等式恒成立问题的策略：构造差函数．根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式．具体做法如下：首先构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应含参不等式，从而求出参数的取值范围，也可以分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．证明，时，可以构造函数，如果，则在上是减函数，同时若，由减函数的定义可知，当时，有，即证明．【典例指引】例1．已知函数，为其导函数.(1)设，求函数的单调区间；(2)若，设，为函数图象上不同的两点，且满足，设线段中点的横坐标为证明：.【思路引导】（1）求出函数的导数，通过讨论的范围，得增区间，得减区间即可；（2）问题转化为证明令，根据函数单调性证明即可.(2)法一：，故在定义域上单调递增.只需证：，即证(*)注意到不妨设.令，则，从而在上单减，故，即得(*)式.法二：(2)故在定义域上单调递增.注意到且故，且等号仅在处取到.所以与图象关系如下：取，则显然有,从而，另外由三次函数的中心对称性可知，则有.点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性、分类讨论思想及不等式证明问题.属于难题.分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中.例2．已知定义域为的函数存在两个零点．（1）求实数的取值范围；（2）若，求证：．【思路引导】（1）分离参数得，借助函数的图象进行求解；（2）由于，则在区间上单调递增，，故只需证明即可．由题知且，不妨设，则，构造，只需证明即可，利用导数的知识可求解．又，∴，又，∴，即，∴， 在区间上单调递增，∴，得证．点评：解答时注意以下两点：（1）涉及已知函数零点的个数求参数的问题，可通过分析所给函数的特点采用分离参数的方法利用数形结合求解．（2）比较大小时，可通过构造函数，利用函数的单调性和函数值的大小关系处理，在解题中多次构造函数处理问题．例3．已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）若关于的不等式恒成立，证明：且．【思路引导】（1）求导，令和，求得函数单调区间（2）构造函数令，求导后分类讨论，利用单调性证明．点评：关于含参量恒成立问题有两种方法，分离含参量和带参量计算，本题构造新函数，带有参量一起求导，判定新函数的单调性，求得最大值时恒小于或等于零，即可证得结论．【同步训练】1．设函数f（x）=lnx+ax2+x+1．（I）a=﹣2时，求函数f（x）的极值点；（Ⅱ）当a=0时，证明xex≥f（x）在（0，+∞）上恒成立．【思路引导】（1）求导数判断函数的单调性，通过单调性求极值点；（2）当a=0时构造函数F（x）=xex﹣f（x）=xex﹣lnx﹣x﹣1，（x＞0），只要证明F（x）≥=0即可．（Ⅱ）证明：当a=0时，f（x）=lnx+x+1令F（x）=xex﹣f（x）=xex﹣lnx﹣x﹣1，（x＞0），则F′（x）=•（xex﹣1），令G（x）=xex﹣1，则G′（x）=（x+1）ex＞0，（x＞0），∴函数G（x）在（0，+∞）递增，又G（0）=﹣1＜0，G（1）=e﹣1＞0，∴存在唯一c∈（0，1）使得G（c）=0，且F（x）在（0，c）上单调递减，在（c，+∞）上单调递增，故F（x）≥F（c）=c•ec﹣lnc﹣c﹣1，由G（c）=0，得c•ec﹣1=0，得lnc+c=0，∴F（c）=0，∴F（x）≥F（c）=0，从而证得xex≥f（x）．点评：在本题（Ⅱ）的解答中，为了求F（x）的最小值，通过求导得到F′（x）=•（xex﹣1），不容易判断F（x）的单调性，故构造G（x）=xex﹣1，采用二次求导的方法，在求G（x）零点的过程中遇到了零点不可求的问题，此类问题的解法是利用G（x）的单调性和零点存在定理，判断零点所在的范围，然后理通过整体代换的方法求函数F（x）的最值，这是解决函数综合问题中常用的一种方法．2．已知函数与．（1）若曲线与直线恰好相切于点，求实数的值；（2）当时，恒成立，求实数的取值范围；（3）求证：...