3.2第2课时空间向量与空间角[A基础达标]1．已知二面角αlβ的两个半平面α与β的法向量分别为a，b，若〈a，b〉＝，则二面角αlβ的大小为()A.B.C.或D.或解析：选C.由于二面角的范围是[0，π]，而二面角的两个半平面α与β的法向量都有两个方向，因此二面角αlβ的大小为或，故选C.2．已知在棱长为a的正方体ABCDA′B′C′D′中，E是BC的中点，则直线A′C与DE所成角的余弦值为()A.B.C.D.解析：选C.如图所示建立空间直角坐标系，则A′(0，0，a)，C(a，a，0)，D(0，a，0)，E，A′C＝(a，a，－a)，DE＝，cosA′C，DE＝＝.3．如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为()A.B.C.D.解析：选D.如图所示，建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，D1(0，0，1)，C1(0，2，1)，所以BC1＝(－2，0，1)．连接AC，易证AC⊥平面BB1D1D，所以平面BB1D1D的一个法向量为a＝AC＝(－2，2，0)．所以所求角的正弦值为|cos〈a，BC1〉|＝＝＝.4.如图，过边长为1的正方形ABCD的顶点A作线段EA⊥平面AC，若EA＝1，则平面ADE与平面BCE所成的二面角的大小是()1A．120°B．45°C．150°D.60°解析：选B.以A为坐标原点，分别以AB，AD，AE所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则E(0，0，1)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，EB＝(1，0，－1)，EC＝(1，1，－1)．设平面BCE的法向量为n＝(x，y，z)，则有可取n＝(1，0，1)．又平面EAD的一个法向量为AB＝(1，0，0)，所以cos〈n，AB〉＝＝，故平面ADE与平面BCE所成的二面角为45°.5．(2018·云南昭通绥江一中高二(上)月考)如图所示，已知四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，且PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝AC，点F为PC的中点，则二面角CBFD的正切值为()A.B.C.D.解析：选D.如图所示，设AC与BD交于点O，连接OF.以O为坐标原点，OB，OC，OF所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系Oxyz.设PA＝AD＝AC＝1，则BD＝，所以O(0，0，0)，B(，0，0)，F(0，0，)，C(0，，0)，OC＝(0，，0)，易知OC为平面BDF的一个法向量，由BC＝(－，，0)，FB＝(，0，－)，可得平面BCF的一个法向量为n＝(1，，)．所以cos〈n，OC〉＝，sin〈n，OC〉＝，所以tan〈n，OC〉＝.故二面角C-BFD的正切值为.6．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M是C1C的中点，O是底面ABCD的中心，P是A1B1上的任意点，则直线BM与OP所成的角为________．2解析：建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为2，A1P＝x，则O(1，1，0)，P(2，x，2)，B(2，2，0)，M(0，2，1)，OP＝(1，x－1，2)，BM＝(－2，0，1)．所以OP·BM＝0，所以直线BM与OP所成的角为.答案：7．已知点A(1，0，0)，B(0，2，0)，C(0，0，3)，则平面ABC与平面xOy所成锐二面角的余弦值为________．解析：由题意得AB＝(－1，2，0)，AC＝(－1，0，3)．设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)．由，知.令x＝2，得y＝1，z＝，则平面ABC的一个法向量为n＝(2，1，)．平面xOy的一个法向量为OC＝(0，0，3)．由此易求出所求锐二面角的余弦值为＝.答案：8．正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都相等，则AC1与平面BB1C1C的夹角的余弦值为________．解析：设三棱柱的棱长为1，以B为坐标原点建立空间直角坐标系，如图，则C1(0，1，1)，A，则AC1＝.易知平面BB1C1C的一个法向量n＝(1，0，0)，设AC1与平面BB1C1C的夹角为θ，则sinθ＝|cos〈n，AC1〉|＝＝，所以cosθ＝＝.答案：9.已知，如图，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，PA＝AC＝1，BC＝，求二面角A-3PBC的余弦值．解：如图建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(，1，0)，C(0，1，0)，P(0，0，1)，AP＝(0，0，1)，AB＝(，1，0)，CB＝(，0，0)，CP＝(0，－1，1)．设平面PAB的法向量为m＝(x，y，z)，则即解得令x＝1，则m＝(1，－，0)．设平面PBC的法向量为n＝(x′，y′，z′)，则即解得令y′＝－1，则n＝(0，－1，－1)，所以cos〈m，n〉＝＝.故二面角APBC的余弦值为.10．(2018·武汉高二期末)如图，在四棱锥PABCD中，O是AD的中点，PO⊥平面ABCD，△PAD是等边三角形，AB＝BC＝AD＝1，cos∠ADB＝，AD∥BC，AD
