专题探究7定点定值探索性问题1.已知一定点F(0,1)及一定直线l:y=-1,以动点M为圆心的圆M过点F,且与直线l相切.(1)求动点M的轨迹C的方程;(2)设点P在直线l上,直线PA,PB分别与曲线C相切于A,B,N为线段AB的中点,求证:|AB|=2|NP|,且直线AB恒过定点.2.[2018·柳州高级中学月考]已知A,B分别为椭圆x24+y22=1的左、右顶点,C为圆x2+y2=4上不在x轴上的一动点,线段CA,CB与椭圆分别交于点D,E,线段EA与DB相交于点F.(1)当点C在y轴的正半轴上时,求△ADF与△BEF的面积和;(2)求证:直线AF与BF的斜率之积为定值,并求点F的轨迹方程.3.[2018·盐城东台中学月考]已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为❑√32,并且椭圆C经过点P1,❑√32,直线l的方程为x=4.(1)求椭圆C的方程.(2)已知椭圆C内一点E(1,0),过点E作一条斜率为k的直线与椭圆交于A,B两点,交直线l于点M,记直线PA,PB,PM的斜率分别为k1,k2,k3.是否存在常数λ,使得k1+k2=λk3?若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由.4.[2018·衡水模拟]在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为❑√53,且椭圆C的短轴恰好是圆x2+y2=4的一条直径.(1)求椭圆C的方程.(2)设A1,A2分别是椭圆C的左、右顶点,点P是椭圆C上不同于A1,A2的任意点,是否存在直线x=m,使直线A1P交直线x=m于点Q,且满足kPA2·kQA2=-1?若存在,求出实数m的值;若不存在,请说明理由.5.[2018·咸阳模拟]已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点与抛物线y2=4x的焦点重合,且椭圆C的离心率为12.(1)求椭圆C的方程;(2)设P是椭圆C的右顶点,过点P作两条直线分别与椭圆C交于另一点A,B,若直线PA,PB的斜率之积为-94,求证:直线AB恒过一个定点,并求出这个定点的坐标.6.[2018·山东、湖北部分重点中学模拟]已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为❑√32F1,F2分别为椭圆C的左、右焦点,点P为椭圆C上一点,△F1PF2面积的最大值为❑√3.(1)求椭圆C的方程;(2)过点A(4,0)作关于x轴对称的两条不同的直线l1,l2分别交椭圆于M(x1,y1)与N(x2,y2),且x1≠x2,求证:直线MN过定点,并求△AMN的面积S的取值范围.专题集训(七)1.解:(1) 圆M过点F,且与直线l相切,∴点M到点F的距离等于点M到直线l的距离,∴点M的轨迹是以F(0,1)为焦点,以直线l:y=-1为准线的抛物线,∴动点M的轨迹C的方程为x2=4y.(2)证明:依题意可设P(x0,-1),Ax1,14x12,Bx2,14x22,又x2=4y,∴y=14x2,∴y'=12x,∴切线PA的斜率k1=12x1,∴切线PA的方程为y-14x12=12x1(x-x1),即2x1x-4y-x12=0,同理可得,切线PB的斜率k2=12x2,切线PB的方程为2x2x-4y-x22=0,又点P(x0,-1)在切线PA,PB上,∴2x1x0+4-x12=0且2x2x0+4-x22=0,故方程2x0x+4-x2=0,即x2-2x0x-4=0有两个根x1,x2,∴x1x2=-4,∴k1k2=12x1×12x2=14x1x2=-1,∴PA⊥PB,又N为线段AB的中点,∴|AB|=2|NP|.由2x1x0+4-x12=0得12x1x0+1-x124=0,即12x1x0+1-y1=0,同理可得12x2x0+1-y2=0,故直线AB的方程为12x0x-y+1=0,故直线AB恒过定点F(0,1).2.解:(1)当点C在y轴的正半轴上时,点C的坐标为(0,2),直线AC的方程为y=x+2,由{y=x+2,x24+y22=1得3y2-4y=0,可得D-23,43,同理可得E23,43,∴直线BD的方程为y=-12(x-2),直线AE的方程为y=12(x+2),从而可得F(0,1),∴S△ADF=S△ABD-S△ABF=12×4×43-12×4×1=23,∴S△ADF+S△BEF=2S△ADF=43.(2)证明:设D(x1,y1),E(x2,y2),F(x,y).由x124+y122=1得y12=4-x122,∴kADkBD=y1x1+2·y1x1-2=y12x12-4=-12,同理可得kAEkBE=-12,又kACkBC=-1,∴kAFkBF=kADkBDkAEkBEkACkBC=-14,故直线AF与BF的斜率之积为定值. kAF·kBF=-14,∴yx+2·yx-2=-14,即x24+y2=1(y≠0),∴点F的轨迹方程为x24+y2=1(y≠0).3.解:(1)因为椭圆C的离心率为❑√32,所以b2a2=1-❑√322=14①,又因为椭圆C过点P1,❑√32,所以1a2+34b2=1②,由①②得a2=4,b2=1,所以椭圆C的方程为x24+y2=1.(2)设直线AB的方程为y=k(x-1),令x=4,得y=3k,则M(4,3k).设A(x1,y1),B(x2,y2),所以k1+k2=y1-❑√32x1-1+y2-❑√32x2-1=k(x1-1)-❑√32x1-1+k(x2-1)-❑√32x2-1=2k-❑√321x1-1+1x2-1=2k-❑√32·x1+x2-2x1x2-(x1+x2)+1.由{y=k(x-1),x2+4y2=4,可得(1+4k2)x2-8k2x+4k2-4=0,所以x1+x2=8k21+4k2,x1x2=4k2-41+4k2,所以k1+k2=2k-❑√32·8k21+4k2-24k2-41+4k2-8k21+4k2+1=2k-❑...
