大题冲关集训(五)1.已知直线x-2y+2=0经过椭圆C:+=1(a>b>0)的左顶点A和上顶点D,椭圆C的右顶点为B,点S是椭圆C上位于x轴上方的动点,直线AS,BS与直线l:x=分别交于M,N两点.(1)求椭圆C的方程;(2)求线段MN的长度的最小值.解:(1)如图,由题意得椭圆C的左顶点为A(-2,0),上顶点为D(0,1),即a=2,b=1.故椭圆C的方程为+y2=1.(2)直线AS的斜率显然存在且不为0,设直线AS的方程为y=k(x+2)(k>0),解得M(,),且将直线方程代入椭圆C的方程,得(1+4k2)x2+16k2x+16k2-4=0.设S(x1,y1),由根与系数的关系得(-2)·x1=.由此得x1=,y1=,即S(,).又B(2,0),则直线BS的方程为y=-(x-2),联立直线BS与l的方程解得N(,-).∴MN=+=+≥2=.当且仅当=,即k=时等号成立,故当k=时,线段MN的长度的最小值为.2.椭圆的中心是原点O,它的短轴长为2,A(,0),F(c,0)(c>0OF|=2|FA|,过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点.(1)求椭圆的方程及离心率;(2)若·=0,求直线PQ的方程;(3)设=λ(λ>1),过点P且平行于x=的直线与椭圆相交于另一点M,证明=-λ.(1)解:由题意,可设椭圆的方程为+=1(a>).由已知得解得a=,c=2.所以椭圆的方程为+=1,离心率e=.(2)解:由(1)可得A(3,0).设直线PQ的方程为y=k(x-3).由方程组得(3k2+1)x2-18k2x+27k2-6=0,依题意Δ=12(2-3k2)>0,得-1,解得x2=.因F(2,0),M(x1,-y1),故=(x1-2,-y1)=(λ(x2-3)+1,-y1)=(,-y1)=-λ(,y2).而=(x2-2,y2)=(,y2),所以=-λ.3.已知椭圆C1,抛物线C2的焦点均在y轴上,C1的中心和C2的顶点均为原点O,从每条曲线上取两个点,将其坐标记录于表中:x0-14y-2-21(1)求C1,C2的标准方程;(2)设斜率不为0的动直线l与C1有且只有一个公共点P,且与C2的准线相交于点Q,试探究:在坐标平面内是否存在定点M,使得以PQ为直径的圆恒过点M?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.解:(1)设C1,C2的标准方程分别为+=1(a>b>0),x2=py, (0,-2)不符合x2=py方程,∴必为椭圆上点,代入得a=2.即椭圆方程为+=1,若(4,1)在椭圆上,则有+=1,b2=>a2(不合题意).即(4,1)在抛物线上,∴p=16,抛物线方程为x2=16y,验证得(-1,)在抛物线上,(,-2)不在抛物线上,∴(,-2)在椭圆上,∴b2=4.故C1,C2的标准方程分别为+=1,x2=16y.(2)存在.设直线l的方程为x=my+n,将其代入+=1,消去x并化简整理得(1+2m2)y2+4mny+2n2-8=0, l与C1相切,∴Δ=16m2n2-4(1+2m2)(2n2-8)=0,∴n2=4(1+2m2),设切点P(x0,y0),则y0=-=-,x0=my0+n==.又直线l与C2的准线y=-4的交点Q(n-4m,-4),∴以PQ为直径的圆的方程为(x-)(x-n+4m)+(y+)(y+4)=0,化简并整理得x2-x+(4m-n)x+(y+2)+(y+2)2=0,当x=0,y=-2等式恒成立,即存在定点M(0,-2)符合题意.4.在平面直角坐标系中,点P(x,y)为动点,已知点A(,0),B(-,0),直线PA和PB的斜率之积为-.(1)求动点P的轨迹E的方程;(2)过点F(1,0)的直线l交曲线E于M,N两点,设点N关于x轴的对称点为Q(M、Q不重合),求证:直线MQ过x轴上一定点.(1)解:由题意知:·=-.化简得+y2=1(y≠0).(2)证明:设M(x1,y1),N(x2,y2),Q(x2,-y2),l:x=my+1,代入+y2=1(y≠0)整理得(m2+2)y2+2my-1=0.y1+y2=,y1y2=,MQ的方程为y-y1=(x-x1),令y=0,得x=x1+=my1+1+=+1=2.∴直线MQ过定点(2,0).5.(2014高考湖北卷)在平面直角坐标系xOy中,点M到点F(1,0)的距离比它到y轴的距离多1.记点M的轨迹为C.(1)求轨迹C的方程;(2)设斜率为k的直线l过定点P(-2,1),求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围.解:(1)设点M(x,y),依题意得|MF|=|x|+1,即=|x|+1.化简整理得y2=2(|x|+x).故点M的轨迹C的方程为y2=(2)在点M的轨迹C中,记C1:y2=4x,C2:y=0(x<0).依题意,可设直线l的方程为y-1=k(x+2).由方程组可得ky2-4y+4(2k+1)=0.(*)①当k=0时,此时y=1.把y=1代入轨迹C的方程,得x=.故此时直线l:y=1与轨迹C恰好有一个公共点(,1).②当k≠0时,方程(*)根的判别式为Δ=-16(2k2+k-1).(**)设直线l与x轴的交点为(x0,0),则由y-1=k(x+2),令y=0,得x...
