高中数学例析圆中的最值问题专题辅导VIP免费

高中数学例析圆中的最值问题在解圆中的最值问题时，涉及到二元函数变量的取值范围，直接涉及到不等式的有关性质，如果不注意合理使用不等式的性质，就会造成错解，下面分析一例。例：平面上有两点A（-1，0），B（1，0），P为圆xyxy2268210上的一点，试求SAPBP||||22的最大值与最小值，并求相应的P点坐标。错解1：把已知圆的一般方程化为标准方程得()()xy34422，设点P的坐标为(,)xy00，则SAPBPxyxyxy||||()()()220202020202021121点P（xy00,）在已知圆上，xyxy0202006821Sxyxy268211434100000()()()()xyxx020200344423215，同理，()()yxyy020200443424226，，331584244434101160000xyxy，，()，即4116S。S的最大值为116，最小值为4。错解2：设点P的坐标为（xy00,），则SAPBPxy||||()2202021()()()xyxyxy0202020200121221当xy00时等号成立，把xy00代入圆的方程化简，得214210020xx，解得x0772，取较小值得xy00772，这时S227721581472[()]。S的最小值为58147，而无最大值。错因分析1：在错解1中，产生错误的原因，在于把xy00、看成相互独立的，能同时达到最大值、最小值的量。实际上xy00、作为两个“变量”是相互联系的，它们同时受()()xy0202344的约束，这个约束条件表示了x0与y0的最大取值区间。但是，当x0、y0成为没有联系的独立变量后，就不一定同时满足()()xy0202344约束条件了，离开了约束条件的变量肯定会扩大解集。例如当x0取得最大值5时，y0只能等于4，不能取得最大值6；当y0取得最大值6时，x0只能等于3，不能取得最大值5。同样xy00、也不能同时取得最小值。在不等式的性质中，若“abcdacbd，”，但反之，由“acbd/abcd，”，也就是说，abcdacbd，是的充分不必要条件。错解用的是放缩变形，不是同解变形，故改变了解集，比如：设amn[]，，bpq[,]，可以得到：abmpnqabmqnp[][]，，，然而，由abmpnqabmqnp[,],[,]却得不出amnbpq[][,]，，，只能得出ampqnqpbpmnqnm[,],[,]2222。这是因为abab与中的ab、不是独立的，而是相互制约的，从而扩大了所求S的取值范围。比如，1111sincos，，但是22sincos是不成立的，因为sincossin()[]2422，，这也是由于sin与cos都受sincos221条件约束，当sin与cos离开约束条件sincos221以后，sincos的范围明显发生了改变，即扩大了取值范围。用心爱心专心错因分析2：在错解2中，利用不等式xyxyxy02020000200()，求最值，不等式的一边必须为定值，若乘积xy00为定值m，则当xym00时，平方和xy0202的最小值为2m；若平方和xy0202为定值n，则当xyn0022时，乘积xy00的最大值为n2。但因错解2中乘积xy00不是定值，因而不能应用这一方法求最值。正解：把已知圆的一般方程化为标准方程得()()xy34422，设点P的坐标为(,)xy00，则SAPBPxyxyxy||||()()()220202020202021121点P(,)xy00在已知圆上，xyxySxyxyxyxyS020200000002020068212682114341034432424332442104681540603402()()()()cos,sin,[(cos)(sin)](cossin)sin()tan()，可设，其中1120100344535100122sin(),tancos,sinsin(),SS由可求得当时，，sincos,cossincos,sinsin(),45353236521542485285201323200xyS当时，，sincoscossincos,sin453532365954248512500，xyS的最大值是100，这时点P的坐标是(,)215285。S的最小值是20，...