课时素养评价十九平面与平面垂直(25分钟·50分)一、选择题(每小题4分,共16分,多选题全部选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)1.已知在四面体ABCD中,E,F分别是AC,BD的中点,若AB=2,CD=4,EF⊥AB,则EF与CD所成的角的度数为()A.90°B.45°C.60°D.30°【解析】选D.取BC的中点G,连接EG,FG,则EG=1,FG=2,EF⊥EG,则EF与CD所成的角等于∠EFG,为30°.2.如图所示,四边形ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,则图中互相垂直的平面共有()A.3对B.4对C.5对D.6对【解析】选D.因为PA⊥平面ABCD,且PA⊂平面PAB,PA⊂平面PAD,PA⊂平面PAC,所以平面PAB和平面PAC和平面PAD都与平面ABCD垂直,又AD⊥PA,AD⊥AB,所以AD⊥平面PAB,又AD⊂平面PAD,所以平面PAB⊥平面PAD,同理可证平面PBC⊥平面PAB,平面PCD⊥平面PAD.3.矩形ABCD的两边AB=3,AD=4,PA⊥平面ABCD,且PA=,则二面角A-BD-P的度数为()A.30°B.45°C.60°D.120°【解析】选A.过A作AE⊥BD,连接PE,则∠AEP为所求角.由AB=3,AD=4知BD=5.又AB·AD=BD·AE,所以AE=,所以tan∠AEP==.所以∠AEP=30°.4.(多选题)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,给出下列四个推断中正确的为()A.A1C1⊥AD1B.A1C1⊥BDC.平面A1C1B∥平面ACD1D.平面A1C1B⊥平面BB1D1D【解析】选BCD.对A,A1C1与AD1是异面直线,A1C1与AD1所成角即为AC与AD1所成角,易知为60°,故A错误;对B,由AC⊥BD,AC∥A1C1,可知A1C1⊥BD,故B正确;对C,由A1B∥CD1,AC∥A1C1且A1B∩A1C1=A1,AC∩CD1=C,由面面平行的判定定理的推论可知平面A1C1B∥平面ACD1,故C正确;对D,易知A1C1⊥平面BB1D1D且A1C1⊂平面A1C1B,故平面A1C1B⊥平面BB1D1D,故D正确.二、填空题(每小题4分,共8分)5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,二面角A-BC-A1的平面角等于________.【解析】根据正方体中的位置关系可知,AB⊥BC,A1B⊥BC,根据二面角的平面角定义可知,∠ABA1即为二面角A-BC-A1的平面角.又AB=AA1,且AB⊥AA1,所以∠ABA1=45°.答案:45°6.如图,△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,AB=AC=1,将△ABC沿斜边BC上的高AD折叠,使平面ABD⊥平面ACD,则折叠后BC=________.【解析】因为在△ABC中,AD⊥BC,所以折叠后有AD⊥BD,AD⊥CD,所以∠BDC是二面角B-AD-C的平面角.因为平面ABD⊥平面ACD,所以∠BDC=90°.在△BCD中,∠BDC=90°,BD=CD=,所以BC==1.答案:1三、解答题(共26分)7.(12分)如图所示,已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱CC1上的动点.(1)求证:A1E⊥BD.(2)当E恰为棱CC1的中点时,求证:平面A1BD⊥平面EBD.【解题指南】(1)欲证A1E⊥BD,只需证明BD垂直A1E所在平面即可.(2)要证平面A1BD⊥平面EBD,只需求出二面角为直二面角即可,或证明一个平面内的某一直线垂直于另一个面.【证明】连接AC,设AC∩DB=O,连接A1O,OE,(1)因为AA1⊥底面ABCD,所以BD⊥A1A,又BD⊥AC,A1A∩AC=A,所以BD⊥平面ACEA1,因为A1E⊂平面ACEA1,所以A1E⊥BD.(2)在等边三角形A1BD中,BD⊥A1O,因为BD⊥平面ACEA1,OE⊂平面ACEA1,所以BD⊥OE,所以∠A1OE为二面角A1-BD-E的平面角.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,设棱长为2a,因为E为棱CC1的中点,由平面几何知识,得EO=a,A1O=a,A1E=3a,满足A1E2=A1O2+EO2,所以∠A1OE=90°,即平面A1BD⊥平面EBD.【加练·固】(2018·江苏高考)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB,AB1⊥B1C1.求证:(1)AB∥平面A1B1C.(2)平面ABB1A1⊥平面A1BC.【证明】(1)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB∥A1B1.因为AB⊄平面A1B1C,A1B1⊂平面A1B1C,所以AB∥平面A1B1C.(2)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,四边形ABB1A1为平行四边形.又因为AA1=AB,所以四边形ABB1A1为菱形,因此AB1⊥A1B.又因为AB1⊥B1C1,BC∥B1C1,所以AB1⊥BC.又因为A1B∩BC=B,A1B⊂平面A1BC,BC⊂平面A1BC,所以AB1⊥平面A1BC.因为AB1⊂平面ABB1A1,所以平面ABB1A1⊥平面A1BC.8.(14分)如图所示,已知P是边长为a的菱形ABCD所在平面外一点,∠ABC=60°,PC⊥平面ABCD,PC=a,E为PA的中点.(1)求证:平面EDB⊥平面ABCD.(2)求二面角A-EB-D的正切值.世纪【解析】(1)连接AC交BD于O,则O为AC的中点,又因为E为PA的中点,所以EO∥PC,又因为PC⊥平面ABCD,所以EO⊥平面ABCD,又因为EO⊂平面EDB,故平面EDB⊥平面ABCD(2)由(1)知EO⊥AO,又因为四边形ABCD为菱形,所以AO⊥BD,又BD∩EO=O,所以AO⊥平面BDE,过O...
