高考数学一轮复习 第五章 数列 5.4 数列求和考向归纳-人教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

数列求和考向1分组转化法求和1．已知数列{an}的前n项是3＋2－1,6＋4－1,9＋8－1,12＋16－1，…，3n＋2n－1，则其前n项和Sn＝________.【解析】由题意知an＝3n＋2n－1，∴Sn＝a1＋a2＋…＋an＝3×1＋21－1＋3×2＋22－1＋…＋3n＋2n－1＝3×(1＋2＋3＋…＋n)＋21＋22＋…＋2n－n＝3×＋－n＝＋2n＋1－2.【答案】(3n2＋n)＋2n＋1－22．(2015·福建高考)等差数列{an}中，a2＝4，a4＋a7＝15.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝2an－2＋n，求b1＋b2＋b3＋…＋b10的值．【解】(1)设等差数列{an}的公差为d，由已知得解得所以an＝a1＋(n－1)d＝n＋2.(2)由(1)可得bn＝2n＋n，所以b1＋b2＋b3＋…＋b10＝(2＋1)＋(22＋2)＋(23＋3)＋…＋(210＋10)＝(2＋22＋23＋…＋210)＋(1＋2＋3＋…＋10)＝＋＝(211－2)＋55＝211＋53＝2101.分组转化法求和的常见类型1．若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求{an}的前n项和．2．通项公式为an＝的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和．提醒：某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，注意在含有字母的数列中对字母的讨论．考向2裂项相消法求和(1)(2015·江苏高考)设数列满足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N*)，则数列前10项的和为______．(2)(2015·全国卷Ⅰ)Sn为数列{an}的前n项和．已知an＞0，a＋2an＝4Sn＋3.①求{an}的通项公式；②设bn＝，求数列{bn}的前n项和．【解析】(1)由题意有a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n(n≥2)．以上各式相加，得an－a1＝2＋3＋…＋n＝＝.又 a1＝1，∴an＝(n≥2)． 当n＝1时也满足此式，∴an＝(n∈N*)．∴＝＝2.∴S10＝2×＝2×＝.【答案】(2)①由a＋2an＝4Sn＋3，(*)可知a＋2an＋1＝4Sn＋1＋3.(**)(**)－(*)，得a－a＋2(an＋1－an)＝4an＋1，即2(an＋1＋an)＝a－a＝(an＋1＋an)(an＋1－an)．1由an>0，得an＋1－an＝2.又a＋2a1＝4a1＋3，解得a1＝－1(舍去)或a1＝3.所以{an}是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为an＝2n＋1.②由an＝2n＋1可知bn＝＝＝.设数列{bn}的前n项和为Tn，则Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＋＋…＋＝.常见的裂项方法(其中n为正整数)数列裂项方法(k为非零常数)＝＝＝－＝(－)(a＞0，a≠1)loga＝loga(n＋1)－logan[变式训练]1．若已知数列的前四项是，，，，则数列的前n项和为________．【解析】由前四项知数列{an}的通项公式为an＝，由＝知，Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1＋an＝＝＝－.【答案】－2．(2014·大纲全国卷)等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝10，a2为整数，且Sn≤S4.(1)求{an}的通项公式；(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.【解】(1)由a1＝10，a2为整数，知等差数列{an}的公差d为整数．又Sn≤S4，故a4≥0，a5≤0，于是10＋3d≥0,10＋4d≤0.解得－≤d≤－.因此d＝－3.数列{an}的通项公式为an＝13－3n.(2)bn＝＝.于是Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＋＋…＋－＝＝.考向3错位相减法求和1.(2015·山东高考)设数列{an}的前n项和为Sn.已知2Sn＝3n＋3.(1)求{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足anbn＝an，求{bn}的前n项和Tn.【解】(1)因为2Sn＝3n＋3，所以2a1＝3＋3，故a1＝3.2当n≥2时，2Sn－1＝3n－1＋3，此时2an＝2Sn－2Sn－1＝3n－3n－1＝2×3n－1，即an＝3n－1，所以an＝(2)因为anbn＝log3an，所以b1＝，当n≥2时，bn＝31－nlog33n－1＝(n－1)·31－n.所以T1＝b1＝；当n≥2时，Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝＋[1×3－1＋2×3－2＋…＋(n－1)×31－n]，所以3Tn＝1＋[1×30＋2×3－1＋…＋(n－1)×32－n]，两式相减，得2Tn＝＋(30＋3－1＋3－2＋…＋32－n)－(n－1)×31－n＝＋－(n－1)×31－n＝－，所以Tn＝－.经检验，n＝1时也适合．综上可得Tn＝－.1．要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形．2．在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式．3．在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解．[变式训练]1.已知等差数列{an}的前3项和为6，前8项和为－4.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设b...