课时跟踪检测(二十二)两角和与差的正弦、余弦和正切公式一、选择题1．化简cos15°cos45°－cos75°sin45°的值为()A.B.C．－D．－2．(2015·山西四校联考)已知sin＝，－＜α＜0，则cos的值是()A.B.C．－D．13．(2015·四川成都五校联考)已知锐角α满足cos2α＝cos，则sin2α等于()A.B．－C.D．－4．化简的值为()A．－2B．2C．－1D．15．(2015·兰州检测)在斜三角形ABC中，sinA＝－cosB·cosC，且tanB·tanC＝1－，则角A的值为()A.B.C.D.6．(2015·广东中山一模)已知cosα＝，cos(α＋β)＝－，且α，β∈，则cos(α－β)的值等于()A．－B.C．－D.二、填空题7．已知cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝，则tanαtanβ的值为________．8．计算＝________.9．设α为锐角，若cos＝，则sin的值为________．10．化简sin2＋sin2－sin2α的结果是________．三、解答题11．已知α∈，tanα＝，求tan2α和sin的值．12．已知函数f(x)＝sinsin.(1)求函数f(x)在[－π，0]上的单调区间．(2)已知角α满足α∈，2f(2α)＋4f＝1，求f(α)的值．答案1．选Acos15°cos45°－cos75°sin45°＝cos15°cos45°－sin15°sin45°＝cos(15°＋45°)＝cos60°＝.2．选C由已知得cosα＝，sinα＝－，cos＝cosα＋sinα＝－.3．选A∵cos2α＝cos，∴cos2α－sin2α＝coscosα＋sinsinα.∵α为锐角，∴cosα－sinα＝，∴sin2α＝.4．选D法一：＝＝1.法二：令α＝0，则原式＝＝1.5．选A由题意知，sinA＝－cosB·cosC＝sin(B＋C)＝sinB·cosC＋cosB·sinC，在等式－cosB·cosC＝sinB·cosC＋cosB·sinC两边同除以cosB·cosC得tanB＋tanC＝－，又tan(B＋C)＝＝－1＝－tanA，即tanA＝1，所以A＝.6．选D∵α∈，∴2α∈(0，π)．∵cosα＝，∴cos2α＝2cos2α－1＝－，∴sin2α＝＝，而α，β∈，∴α＋β∈(0，π)，∴sin(α＋β)＝＝，∴cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)]＝cos2αcos(α＋β)＋sin2αsin(α＋β)＝×(－)＋×＝.7．解析：因为cos(α＋β)＝，所以cosαcosβ－sinαsinβ＝.①因为cos(α－β)＝，所以cosαcosβ＋sinαsinβ＝.②①＋②得cosαcosβ＝.②－①得sinαsinβ＝.所以tanαtanβ＝＝.答案：8．解析：＝＝＝＝.答案：9．解析：因为α为锐角，cos＝，所以sin＝，sin2＝，cos2＝，所以sin＝sin＝×－×＝.答案：10．解析：法一：原式＝＋－sin2α＝1－－sin2α＝1－cos2α·cos－sin2α＝1－－＝.法二：令α＝0，则原式＝＋＝.答案：11．解：∵tanα＝，∴tan2α＝＝＝，且＝，即cosα＝2sinα，又sin2α＋cos2α＝1，∴5sin2α＝1，而α∈，∴sinα＝，cosα＝.∴sin2α＝2sinαcosα＝2××＝，cos2α＝cos2α－sin2α＝－＝，∴sin＝sin2αcos＋cos2αsin＝×＋×＝.12．解：f(x)＝sinsin＝sincos＝sinx.(1)函数f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为.(2)2f(2α)＋4f＝1⇒sin2α＋2sin＝1⇒2sinαcosα＋2(cos2α－sin2α)＝1⇒cos2α＋2sinαcosα－3sin2α＝0⇒(cosα＋3sinα)(cosα－sinα)＝0.∵α∈，∴cosα－sinα＝0⇒tanα＝1得α＝，∴f(α)＝sin＝.
