第六讲数列与其他知识的综合考向一数列与三角【例1】在等差数列{an}中，若a7＝，则sin2a1＋cosa1＋sin2a13＋cosa13＝________.【答案】0【解析】根据题意可得a1＋a13＝2a7＝π，2a1＋2a13＝4a7＝2π，所以有sin2a1＋cosa1＋sin2a13＋cosa13＝sin2a1＋sin(2π－2a1)＋cosa1＋cos(π－a1)＝0.【举一反三】1．设等差数列{an}的公差为，前8项和为6π，记tan＝k，则数列的前7项和是________．【答案】【解析】等差数列{an}的公差d为，前8项和为6π，可得8a1＋×8×7×＝6π，解得a1＝π，tanantanan＋1＝－1＝－1，又tand＝tan＝k，则数列{tanantanan＋1}的前7项和为(tana8－tana7＋tana7－tana6＋…＋tana2－tana1)－7＝(tana8－tana1)－7＝－7＝－7＝－7＝－7＝.2.已知等差数列{an},a5=π2.若函数f(x)=sin2x+1,记yn=f(an),则数列{yn}的前9项和为.【答案】9【解析】由题意,得yn=sin(2an)+1,所以数列{yn}的前9项和为sin2a1+sin2a2+sin2a3+…+sin2a8+sin2a9+9.由a5=π2,得sin2a5=0. a1+a9=2a5=π,∴2a1+2a9=4a5=2π,∴2a1=2π-2a9,∴sin2a1=sin(2π−2a9)=-sin2a9.由倒序相加可得12(sin2a1+sin2a2+sin2a3+…+sin2a8+sin2a9+sin2a1+sin2a2+sin2a3+…+sin2a8+sin2a9)=0,【运用套路】---纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行∴y1+y2+y3+…+y8+y9=9.考向二数列与向量【例2】设数列{an}满足a2＋a4＝10，点Pn(n，an)对任意的n∈N*，都有向量PnPn＋1＝(1,2)，则数列{an}的前n项和Sn＝________.【答案】n2【解析】 Pn(n，an)，∴Pn＋1(n＋1，an＋1)，∴PnPn＋1＝(1，an＋1－an)＝(1,2)，∴an＋1－an＝2，∴数列{an}是公差d为2的等差数列．又由a2＋a4＝2a1＋4d＝2a1＋4×2＝10，解得a1＝1，∴Sn＝n＋×2＝n2.【举一反三】1．在平面直角坐标系xOy中，直线l经过坐标原点，⃗n=(3,1)是l的一个法向量.已知数列{an}满足：对任意的正整数n，点(an+1,an)均在l上，若a2=6，则a3的值为______．【答案】-2【解析】直线经过坐标原点，n⃗=(3,1)是l的一个法向量，可得直线l的斜率为−3，即有直线l的方程为y=−3x，点(an+1,an)均在l上，可得an=−3an+1，即有an+1=−13an，则数列{an}为公比q为−13的等比数列，可得a3=a2q=6×(−13)=−2．故答案为：−2．2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若OB＝a1OA＋a200·OC，且A，B，C三点共线(该直线不过原点O)，则S200＝________.【答案】100【解析】因为A，B，C三点共线(该直线不过原点O)，所以a1＋a200＝1，所以S200＝＝100.考向四数列与函数【例4】已知数列{an}的通项公式为an＝－8n＋9n－3n(其中n∈N*)，若第m项是数列{an}中的最小项，则am＝________.【答案】－【解析】令n＝t，由an＝－8n＋9n－3n，得an＝－8t3＋9t2－3t.设f(t)＝－8t3＋9t2－3t，则f′(t)＝－24t2＋18t－3＝－3(2t－1)(4t－1)． 00，∴f(t)在上单调递减，在上单调递增．∴当t＝，即n＝2时，an最小，∴am＝a2＝－8×2＋9×2－3×2＝－，即am＝－.【举一反三】1.已知函数f(x)是R上的单调递增函数且为奇函数，数列{an}是等差数列，a3>0，则f(a1)＋f(a3)＋f(a5)的值()A．恒为正数B．恒为负数C．恒为0D．可以为正数也可以为负数【答案】A【解析】因为函数f(x)是R上的奇函数，所以f(0)＝0，又f(x)是R上的增函数，所以当x>0时，有f(x)>f(0)＝0，当x<0时，有f(x)0，所以f(a3)>0.因为数列{an}是等差数列，所以＝a3>0⇒a1＋a5>0⇒a1>－a5⇒f(a1)>f(－a5)，又f(－a5)＝－f(a5)，所以f(a1)＋f(a5)>0，故f(a1)＋f(a3)＋f(a5)＝[f(a1)＋f(a5)]＋f(a3)>0.2.若数列{an}是公差为2的等差数列，数列{bn}满足b1＝1，b2＝2，且anbn＋bn＝nbn＋1.(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)设数列{cn}满足cn＝，数列{cn}的前n项和为Tn，若不等式(－1)nλ
