3.3.3函数的最大（小）值与导数课时达标训练1.函数f(x)=x3-3x(|x|<1)()A.有最大值,但无最小值B.有最大值,也有最小值C.无最大值,但有最小值D.既无最大值,也无最小值【解析】选D.f′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),当x∈(-1,1)时,f′(x)<0,所以f(x)在(-1,1)上是单调递减函数,无最大值和最小值.2.函数y=2x3-3x2-12x+5在[-2,1]上的最大值、最小值分别是()A.12,-8B.1,-8C.12,-15D.5,-16【解析】选A.y′=6x2-6x-12,由y′=0⇒x=-1或x=2(舍去).x=-2时y=1,x=-1时y=12,x=1时y=-8.所以ymax=12,ymin=-8.3.已知函数f(x)=,若函数在区间(其中a>0)上存在最大值,则实数a的取值范围为()A.0
D.a>1【解析】选B.因为f(x)=,x>0,所以f′(x)=-.当00;当x>1时,f′(x)<0.所以f(x)在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,+∞)上单调递减,所以函数f(x)在x=1处取得极大值.因为函数f(x)在区间(其中a>0)上存在最大值,所以解得0,当a=0时,f(x)=-,不符合题意,当a<0时,x∈,f′(x)<0,从而f(x)在上单调递减,所以f(x)在上的最大值为f(0)=-,不符合题意,当a>0时,x∈,f′(x)>0,从而f(x)在上单调递增,所以f(x)在上的最大值为f=a-=,解得a=1.答案:15.已知a是实数,函数f(x)=x2(x-a).(1)若f′(1)=3,求a的值及曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程.(2)求f(x)在区间[0,2]上的最大值.【解析】(1)f′(x)=3x2-2ax.因为f′(1)=3-2a=3,所以a=0.又当a=0时,f(1)=1,f′(1)=3,所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为3x-y-2=0.(2)令f′(x)=0,解得x1=0,x2=.当≤0,即a≤0时,f(x)在[0,2]上单调递增,从而f(x)max=f(2)=8-4a.当≥2,即a≥3时,f(x)在[0,2]上单调递减,从而f(x)max=f(0)=0.当0<<2,即0
