第41课等差数列1．等差数列的定义（1）如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于___________，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的_______，通常用字母d表示（2）符号表示：．2.等差中项如果成等差数列，那么____叫做与的等差中项，且_____________.3.等差数列的通项公式与等差数列的前项和已知条件通项公式已知条件前项和公式________________________________________________________例1.（2013安徽高考）设nS为等差数列的前n项和,8374,2Saa，则（）A．6B．4C．2D．2【答案】A【解析】设等差数列的公差为，∵8374,2Saa，∴，解得，∴.练习：（1）已知为等差数列，其前项和为，若，，则公差（）A．B．C．D．【答案】C【解析】∵，，∴．1（2）（2013全国高考）设等差数列的前项和为，，，,则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意知=，∴，，∴公差，∴，∴.4.等差数列的重要性质:若是等差数列，则（1）若，则．（2）．（3）仍是等差数列．（4）．（即：当为奇数时，，其中是中间项）（5）两个等差数列、的前项和分别为、，则例2.（1）等差数列}{na中，若，那么。（2）等差数列中前项和为，若，，那么公差。（3）等差数列中，，，则。（4）等差数列中，，，则。（5）两个等差数列、的前项和分别为、，且，则，5.等差数列的判定方法1．定义法：(常数)是等差数列．2．中项公式法：是等差数列．例3.已知数列中，且（且）．2（1）求证数列为等差数列；（2）求数列的通项公式．【解析】（1）∵，当时，∴是以为首项，以为公差的等差数列．（2）由（1）知，∴．练习：已知正项数列中，，，，（1）令，求证：数列为等差数列（2）求数列的通项公式【解析】（1）∵∴，即，∵，∴，∴数列为等差数列，（2）由（1）数列为等差数列∵，，∴，∴，6．等差数列的增减性：（1）当时，为递增数列，且时前项和有最小值．此时，最小（2）当时，为递减数列，且时前项和有最大值．此时，最大例4.（2013揭阳一模）已知等差数列满足：，则前项和取最大值时，的值为（）A．20B．21C．22D．233【答案】B【解析】∵等差数列满足，，∴，∴．若最大，则，即解得，故取最大值时，的值为21．第41课等差数列的课后作业1．等差数列，…的第四项等于（）A．B．C．D．解：，解得，所以这个数列为，选C2．已知等差数列的前n项和为，若，则的值为（）A．B．C．D．解：，，即，，选C3.(2013·江门二模)已知数列是等差数列，若，，则的公差是()A．1B．3C．5D．6解析：设等差数列的公差为，，，∴解得，，故选B.答案：B4．已知数列{an}为等差数列且，则的值为()4A.B．±C．－D．－解析：由等差数列的性质，得，∴，∴tan(a2＋a12)＝tan(2a7)＝tan＝tan＝－.故选D.答案：D5．(2013·重庆卷)若2、a、b、c、9成等差数列，则c－a＝________.解析：设等差数列2，a，b，c,9的公差为d，则9－2＝4d，所以d＝，c－a＝2d＝2×＝.答案：6．(2012·南京二模)设Sn是等差数列的前项和．若，则_________.解析：设等差数列的首项为a1，公差为d，则有＝，得a1＝2d，∴＝＝.答案：7．已知等差数列中，，．（1）求数列的通项公式；（2）若数列的前项和，求的值．【解析】（1）设等差数列的公差，则，∴，∴．．（2）∵，∴，解得或．∵，∴．8．已知数列满足，且对任意，都有．（1）求证：数列为等差数列；（2）求数列的通项公式【解析】（1），即，∴，5∴数列是以为首项，公差为的等差数列．（2）由（1）可得数列的通项公式为，∴．9.在等差数列中，已知，前项和为，且，求当取何值时有最大值，并求出它的最大值．【解析】（1）∵在等差数列中，，，∴，∴，，∴，∴或时，有最大值，最大值为130．10．（2014·新课标全国卷Ⅱ）如图13，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．(1)证明：PB∥平面AEC；(2)设AP＝1，AD＝，三棱锥PABD的体积V＝，求A到平面PBC的距离．图13解：(1)证明：设BD与AC的交点为O，连接EO.因为ABCD为矩形，所以O为BD的中点．又E为PD的中点，所以EO∥PB.EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，所以PB∥平面AEC.6(2)V＝××PA×AB×AD＝AB，由V＝，可得AB＝.作AH⊥PB交PB于点H.由题设知BC⊥平面PAB，所以BC⊥AH，因为PB∩BC＝B，所以AH⊥平面PBC.又AH＝＝，所以点A到平面PBC的距离为7
