第34讲平面向量的应用1．一船从某河一岸驶向另一岸，船速为v1，水速为v2，已知船可垂直到达对岸，则(B)A．|v1|<|v2|B．|v1|>|v2|C．|v1|＝|v2|D．|v1|与|v2|的大小不确定2．设a，b是非零向量，若函数f(x)＝(xa＋b)·(a－xb)的图象是一条直线，则必有(A)A．a⊥bB．a∥bC．|a|＝|b|D．|a|≠|b|f(x)＝xa2－x2a·b＋a·b－xb2，因为f(x)为直线，即a·b＝0，所以a⊥b.3．已知O、N、P在△ABC所在平面内，且|OA|＝|OB|＝|OC|，NA＋NB＋NC＝0，且PA·PB＝PB·PC＝PC·PA，则点O、N、P依次是△ABC的(C)A．重心、外心、垂心B．重心、外心、内心C．外心、重心、垂心D．外心、重心、内心由|OA|＝|OB|＝|OC|知，O为△ABC的外心．由NA＋NB＋NC＝0知，N为△ABC的重心．由PA·PB＝PB·PC⇒(PA－PC)·PB＝0⇒CA⊥PB，同理，AP⊥BC，CP⊥AB，所以P为△ABC的垂心．4．已知向量a＝(x＋z,3)，b＝(2，y－z)，且a⊥b.若x，y满足不等式|x|＋|y|≤1，则z的取值范围为(D)A．[－2,2]B．[－2,3]C．[－3,2]D．[－3,3]因为a⊥b，所以2(x＋z)＋3(y－z)＝0，则z＝2x＋3y，x，y满足不等式|x|＋|y|≤1，画出可行域如下：当z＝2x＋3y经过点A(0,1)时，z＝2x＋3y取得最大值3，当z＝2x＋3y经过点C(0，－1)时，z＝2x＋3y取得最小值－3.5．两人一起提重为|G|的书包时，两拉力的夹角为θ，每人用力均为|F|，则|F|与|G|的关系是|F|＝.按力的平行四边形法则有|F|＝.6．在正三角形ABC中，D是BC边上的点，若AB＝3，DC＝2BD，则AB·AD＝.如图，在△ABD中，AB·AD＝AB·(AB＋BD)＝AB2＋AB·BD＝9＋|AB|·|BD|·cos120°＝.7．在直角坐标系xOy中，已知点A(1,1)，B(2,3)，C(3,2)，点P(x，y)在△ABC三边围成的区域(含边界)上，且OP＝mAB＋nAC(m，n∈R)．(1)若m＝n＝，求|OP|；(2)用x，y表示m－n，并求m－n的最大值．(1)因为m＝n＝，AB＝(1,2)，AC＝(2,1)，所以OP＝(1,2)＋(2,1)＝(2,2)．所以|OP|＝＝2.(2)因为OP＝m(1,2)＋n(2,1)＝(m＋2n,2m＋n),即两式相减得：m－n＝y－x.令y－x＝t，由图可知，当直线y＝x＋t过点B(2,3)时，t取得最大值1，故m－n的最大值为1.8．已知A、B、C为△ABC的三个内角，向量m满足|m|＝，且m＝(sin，cos)，若A最大时，动点P使得|PB|、|BC|、|PC|成等差数列，则的最大值是(A)A.B.C.D.由题意知2sin2＋cos2＝，即1－cos(B＋C)＋＝，则cosA＝－cos(B－C)，因为B，C∈(0，π)，所以B－C∈(－π，π)，当B＝C时，cosA取最小值－，A取最大值，此时B＝C＝.设|BC|＝2c(c≠0)，因为|PB|，|BC|，|PC|成等差数列，所以|PB|＋|PC|＝2|BC|＝4c>|BC|，所以点P的轨迹为以B、C为焦点的椭圆，且椭圆方程为＋＝1，不妨设A(0，)，P(2ccosθ，csinθ)(θ为参数)，则|PA|＝＝c≤c，当且仅当sinθ＝－1时取等号，所以的最大值是＝.9．已知点P(－3，0)，点A在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线AQ上，满足PA·AM＝0，AM＝－MQ，当点A在y轴上移动时，动点M的轨迹方程为__y2＝4x(x>0)__．设M(x，y)为轨迹上的任一点，设A(0，b)，Q(a，0)(a>0)，则AM＝(x，y－b)，MQ＝(a－x，－y)，因为AM＝－MQ，所以(x，y－b)＝－(a－x，－y)，所以a＝x，b＝－，即A(0，－)，Q(，0)，PA＝(3，－)，AM＝(x，y)，因为PA·AM＝0，所以3x－y2＝0，即所求轨迹的方程为y2＝4x(x>0)．10．如图，平行四边形OACB中，BD＝BC，OD与BA相交于E，求证：BE＝BA.如图，设OA＝a，OB＝b，则BD＝a，OD＝b＋a，设OE＝ma＋nb，因为O，E，D三点共线，所以＝，①AE＝OE－OA＝(m－1)a＋nb，AB＝b－a，又A，E，B三点共线，所以＝，即m＋n－1＝0.②由①②解得m＝，n＝3m＝，故OE＝a＋b.所以BE＝OE－OB＝a＋b－b＝a－b，又BA＝a－b，所以BE＝BA，即BE＝BA.
