第4课时用向量方法求空间中的距离课时过关·能力提升基础巩固1若O为原点,⃗OA=(1,1,−2),⃗OB=(3,2,8),⃗OC=(0,1,0),则线段AB的中点P到点C的距离为()A.√1652B.2√14C.√53D.√532解析: ⃗OP=⃗OA+⃗OB2=(2,32,3),∴⃗PC=⃗OC−⃗OP=(-2,-12,-3).∴¿⃗PC∨¿√532.答案:D2已知平面α的一个法向量n=(-2,-2,1),点A(-1,3,0)在α内,则点P(-2,1,4)到平面α的距离为()A.10B.3C.83D.103解析:⃗PA=(1,2,−4),又平面α的一个法向量为n=(-2,-2,1),所以点P到α的距离为|⃗PA·n||n|=103.答案:D3已知AB,BC,CD为两两垂直的三条线段,且它们的长都为2,则AD的长为()A.4B.2C.3D.2√31解析:因为⃗AD=⃗AB+⃗BC+⃗CD,所以∨⃗AD∨2=¿⃗AB+⃗BC+⃗CD∨2=¿⃗AB∨2+¿⃗BC∨2+¿⃗CD∨2+2(⃗AB·⃗BC+⃗BC·⃗CD+⃗AB·⃗CD)=22+22+22+2×(0+0+0)=12,故∨⃗AD∨¿2√3.答案:D4若三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直,且满足PA=PB=PC=1,则点P到平面ABC的距离是()A.√66B.√63C.√36D.√33解析:分别以PA,PB,PC所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略),则A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1).可以求得平面ABC的一个法向量为n=(1,1,1),则d¿|⃗PA·n||n|=√33.答案:D5在正三棱柱ABC-A1B1C1中,若AB=AA1=4,点D是AA1的中点,则点A1到平面DBC1的距离是()A.√2B.√22C.√23D.√24答案:A6已知点A(2,3,1),B(4,1,2),C(6,3,7),D(-5,-4,8),则点D到平面ABC的距离为.解析:设平面ABC的法向量n=(x,y,z),则{n·⃗AB=0,n·⃗AC=0,即{(x,y,z)·(2,-2,1)=0,(x,y,z)·(4,0,6)=0.∴可取n¿(-32,-1,1).又⃗AD=(−7,−7,7),∴点D到平面ABC的距离d¿|⃗AD·n||n|=49√1717.答案:49√17177在长方体ABCD-A1B1C1D1中,已知AA1=9,BC=6√3,N为BC的中点,则直线D1C1与平面A1B1N的距离是¿2答案:98已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,E,F分别是BB1,CD的中点,求点F到平面A1D1E的距离.解:建立空间直角坐标系,如图所示,则A1(a,0,a),D1(0,0,a),A(a,0,0),B(a,a,0),B1(a,a,a),E(a,a,a2),F(0,a2,0).设平面A1D1E的法向量为n=(x,y,z),则n·⃗A1D1=0,n·⃗A1E=0,即{(x,y,z)·(-a,0,0)=0,(x,y,z)·(0,a,-a2)=0,∴-ax=0,ay−a2z=0.∴{x=0,y=z2,令z=2,得n=(0,1,2).又⃗FD1=(0,-a2,a),∴所求距离d¿|⃗FD1·n||n|=32a√5=3√510a.9如图,已知斜三棱柱ABC-A1B1C1,∠BCA=90°,AC=BC=2,A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D,又知BA1⊥AC1.3(1)求证:AC1⊥平面A1BC;(2)求CC1到平面A1AB的距离.(1)证明如图,取AB的中点E,连接DE,则DE∥BC.因为BC⊥AC,所以DE⊥AC.又A1D⊥平面ABC,以⃗DE,⃗DC,⃗DA1的方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系,设A1D=t(t>0),则A(0,-1,0),C(0,1,0),B(2,1,0),A1(0,0,t),C1(0,2,t),所以⃗AC1=(0,3,t),⃗BA1=(−2,−1,t),⃗CB=(2,0,0).由⃗AC1·⃗CB=0,知AC1⊥CB,又BA1⊥AC1,从而AC1⊥平面A1BC.(2)解由⃗AC1·⃗BA1=−3+t22=0,得t¿√3.设平面A1AB的法向量为n=(x,y,z),⃗AA1=(0,1,√3),⃗AB=(2,2,0),所以{n·⃗AA1=y+√3z=0,n·⃗AB=2x+2y=0.设z=1,则n=(√3,−√3,1),又CC1∥AA1,所以CC1∥平面A1AB.所以CC1到平面A1AB的距离可转化为点C1到平面A1AB的距离d,且d¿|⃗AC1·n||n|=2√217.能力提升1已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4,点E是CC1的中点,则点E到直线A1B的距离为()A.4√33B.2√6C.2√5D.3√2答案:D2正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,则平面AB1D1与平面BDC1的距离为()A.√2aB.√3a4C.√23aD.√33a解析:建立空间直角坐标系如图.则A(a,0,0),B(a,a,0),D(0,0,0),C1(0,a,a),D1(0,0,a),B1(a,a,a),∴⃗AB1=(0,a,a),⃗AD1=(−a,0,a),⃗BC1=(−a,0,a),⃗DC1=(0,a,a).设n=(x,y,z)为平面AB1D1的法向量,则{n·⃗AB1=a(y+z)=0,n·⃗AD1=a(-x+z)=0,得{y=-z,x=z.取z=1,则n=(1,-1,1).又 AD1∥BC1,AB1∥DC1,AD1∩AB1=A,DC1∩BC1=C1,∴平面AB1D1∥平面BDC1.∴平面AB1D1与平面BDC1的距离可转化为点C1到平面AB1D1的距离d. ⃗C1B1=(a,0,0),平面AB1D1的法向量为n=(1,-1,1),∴d¿|⃗C1B1·n||n|=|a|√3=√33a.答案:D3已知二面角α-l-β为60°,动点P,Q分别在平面α,β内,点P到β的距离为√3,点Q到α的距离为2√3,则P,Q两点之间距离的最小值为()A.√2B.2C.2√3D.4...
