余弦定理及其应用(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在△ABC中，a＝2，b＝5，c＝6，则cosB等于()A.B.C.D．－2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A＝，a＝，b＝1，则c等于()A．1B．2C.－1D.3．在△ABC中，若c＝，则角C的度数是()A．60°B．120°C．60°或120°D．45°4．若△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，则ab的值为()A.B．8－4C．1D.5．在△ABC中，已知a＝2，则bcosC＋ccosB等于()A．1B.C．2D．46．如果将直角三角形三边增加相同的长度，则新三角形一定是()A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．与增长的长度有关7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若(2b－c)cosA＝acosC，则A的度数是()A．30°B．45°C．60°D．120°8．△ABC的三边长分别为AB＝7，BC＝5，CA＝6，则AB·BC的值为()A．19B．14C．－18D．－199．边长为5，7，8的三角形的最大角与最小角的和是()A．90°B．120°C．135°D．150°10．△ABC是不等边三角形，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，a是最大的边，若a2＜b2＋c2，则角A的取值范围是()A.B.C.D.11．在△ABC中，AB＝3，BC＝，AC＝4，则AB边上的高为()A．2B.C．2D．312．在△ABC中，若a＝4，b＋c＝5，tanA＋tanB＋＝tanAtanB，则△ABC的面积为()A.B.C.D.题号123456789101112答案二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知a，b，c为△ABC的三边，B＝120°，则a2＋c2＋ac－b2＝________．14．在△ABC中，若b＝1，c＝，A＝，则a＝________，sinB＝________．15．在三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若＋＝6cosC，则的值是________．16．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，则角C＝________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)在△ABC中，1(1)若b＝3，c＝1，A＝60°，试求a；(2)若a＝，b＝1，c＝2，试求A.18．(本小题满分12分)在△ABC中，已知a－b＝4，a＋c＝2b，且最大角为120°，求三边的长．19.(本小题满分12分)在△ABC中，求证：＝.220．(本小题满分12分)在△ABC中，BC＝a，AC＝b，a，b是方程x2－2x＋2＝0的两个根，且2cos(A＋B)＝1.求：(1)角C的大小；(2)AB的长度．21.(本小题满分12分)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a2－(b－c)2＝(2－)bc，sinAsinB＝cos2.求角A和角B的大小．322．(本小题满分12分)在△ABC中，AC＝2，BC＝1，cosC＝.(1)求AB的值；(2)求sin(2A＋C)的值．参考答案与解析1．【解析】选A.由余弦定理得cosB＝＝＝.2．【解析】选B.由余弦定理得3＝1＋c2－2×c×1×cos，即c2－c－2＝0，解得c＝2或c＝－1(舍去)，故c＝2.3．【解析】选B.由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC，又c2＝a2＋b2＋ab，所以cosC＝－，所以C＝120°.4．【解析】选A.由余弦定理可知c2＝a2＋b2－2abcosC，因为C＝60°，所以c2＝a2＋b2－ab，又(a＋b)2－c2＝4，所以有(a＋b)2－4＝a2＋b2－ab，解得ab＝.5．【解析】选C.bcosC＋ccosB＝＋＝＝a＝2.6．【解析】选A.设△ABC为直角三角形，且a2＝b2＋c2，三边增加相同长度m后，新三角形为△A′B′C′，根据余弦定理得cosA′＝＝＞0，而角A′是最大的角，故新三角形为锐角三角形，故选A.7．【解析】选C.由余弦定理得，(2b－c)·＝a·，化简得b2＋c2－a2－bc＝0，即＝，所以cosA＝.又0＜A＜180°，所以A＝60°.48．【解析】选D.由余弦定理得cosB＝＝＝，所以AB·BC＝－BA·BC＝－|BA||BC|cosB＝－7×5×＝－19.9．【解析】选B.设边长为5，7，8的三边所对角分别为α，β，γ，则α为最小角，γ为最大角，因为cosβ＝＝，0°<β<180°，所以β＝60°，所以α＋γ＝180°－60°＝120°.10．【解析】选C.由A＞B且A＞C，A＋B＋C＝π，得3A＞π，A＞.又cosA＝＞0，故A＜，即角A的取值范围是.11．【解析】选A.因为cosA＝＝，0°
