课时跟踪检测(三十二)三角函数与平面向量的难点问题集释1．在非等边三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中a为最大边，如果sin2(B＋C)＜sin2B＋sin2C，则角A的取值范围为()A.B.C.D．解析：选D由题意得sin2A＜sin2B＋sin2C，由正弦定理得a2＜b2＋c2，即b2＋c2－a2＞0，则cosA＝＞0.因为0＜A＜π，所以0＜A＜，又a为最大边，所以A＞，即角A的取值范围为.2．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sinA－sinB＝，b＝，则△ABC的面积的最大值为()A.B.C.D．解析：选A根据正弦定理由sinA－sinB＝，可得a－b＝，得a2－b2＝c(a－c)，即a2＋c2－b2＝ac，故＝＝cosB， B∈(0，π)，∴B＝.又由b＝，可得a2＋c2＝ac＋3，故a2＋c2＝ac＋3≥2ac，即ac≤3，当且仅当a＝c＝时取等号，故ac的最大值为3，这时△ABC的面积取得最大值，为×3×sin＝.3．在钝角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B为钝角，若acosA＝bsinA，则sinA＋sinC的最大值为()A.B.C．1D．解析：选B acosA＝bsinA，由正弦定理可得，sinAcosA＝sinBsinA， sinA≠0，∴cosA＝sinB，又B为钝角，∴B＝A＋，sinA＋sinC＝sinA＋sin(A＋B)＝sinA＋cos2A＝sinA＋1－2sin2A＝－22＋，∴sinA＋sinC的最大值为.4．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝bcosC＋csinB，且△ABC的面积为1＋，则b的最小值为()A．2B.3C.D．解析：选A由a＝bcosC＋csinB及正弦定理，得sinA＝sinBcosC＋sinCsinB，即sin(B＋C)＝sinBcosC＋sinCsinB，得sinCcosB＝sinCsinB，又sinC≠0，所以tanB＝1.因为B∈(0，π)，所以B＝.由S△ABC＝acsinB＝1＋，得ac＝2＋4.又b2＝a2＋c2－2accosB≥2ac－ac＝(2－)(4＋2)＝4，当且仅当a＝c时等号成立，所以b≥2，b的最小值为2，故选A.5．(2019·合肥质检)在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(a－b)(sinA＋sinB)＝(c－b)sinC．若a＝，则b2＋c2的取值范围是()A．(5,6]B.(3,5)C．(3,6]D．[5,6]解析：选A由正弦定理可得，(a－b)(a＋b)＝(c－b)c，即b2＋c2－a2＝bc，所以cosA＝＝，则A＝.又＝＝＝2，所以b2＋c2＝4(sin2B＋sin2C)＝4[sin2B＋sin2(A＋B)]＝4＝sin2B－cos2B＋4＝2sin＋4.又△ABC是锐角三角形，所以B∈，所以2B－∈.所以b2＋c2的取值范围是(5,6]．6.如图，△ABC是边长为2的正三角形，P是以C为圆心，半径为1的圆上任意一点，则AP·BP的取值范围是()A．[1,13]B.(1,13)C．(4,10)D．[4,10]解析：选A取AB的中点D，连接CD，CP，则CA＋CB＝2CD，所以AP·BP＝(CP－CA)·(CP－CB)＝CA·CB－2CD·CP＋1＝(2)2cos－2×3×1×cos〈CD，CP〉＋1＝7－6cos〈CD，CP〉，所以当cos〈CD，CP〉＝1时，AP·BP取得最小值为1；当cos〈CD，CP〉＝－1时，AP·BP取得最大值为13，因此AP·BP的取值范围是[1,13]．7．已知Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，AC＝5，I是△ABC的内心，P是△IBC内部(不含边界)的动点，若AP＝λAB＋μAC(λ，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围是()A.B.C.D．(2,3)解析：选A以B为原点，BA，BC所在直线分别为x，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则B(0,0)，A(3,0)，C(0,4)．设△ABC的内切圆的半径为r，因为I是△ABC的内心，所以(5＋3＋4)×r＝4×3，解得r＝1，所以I(1,1)．设P(x，y)，因为点P在△IBC内部(不含边界)，所以0＜x＜1.因为AB＝(－3,0)，AC＝(－3,4)，AP＝(x－3，y)，且AP＝λAB＋μAC，所以得所以λ＋μ＝1－x，又0＜x＜1，所以λ＋μ∈，故选A.8．(2019·唐山模拟)在△ABC中，(AB－3AC)⊥CB，则角A的最大值为________．解析：因为(AB－3AC)⊥CB，所以(AB－3AC)·CB＝0，即(AB－3AC)·(AB－AC)＝0，整理得AB2－4AC·AB＋3AC2＝0，即cosA＝＝＋≥2＝，当且仅当|AB|＝|AC|时等号成立．因为0＜A＜π，所以0＜A≤，即角A的最大值为.答案：9．(2018·沈阳质监)已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，且满足4S＝a2－(b－c)2，b＋c＝8，则S的最大值为__________．解析：由题意得，4×bcsinA＝a2－b2－c2＋2bc，又a2＝b2＋c2－2bccosA，代入上式得，2bcsinA＝－2bccosA＋2bc，即sinA＋cosA＝1，sin＝1. 0＜A＜π，∴＜A＋＜，∴A＋＝，∴A＝，S＝bcsinA＝...
