【高考领航】2016届高考数学二轮复习限时训练20直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹问题文(建议用时45分钟)1
已知圆E：x2＋2＝经过椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点F1，F2，且与椭圆C在第一象限的交点为A，且F1，E，A三点共线．直线l交椭圆C于M，N两点，且MN＝λOA(λ≠0)．(1)求椭圆C的方程；(2)当△AMN的面积取到最大值时，求直线l的方程．解：(1)∵F1，E，A三点共线，∴F1A为圆E的直径，∴AF2⊥F1F2
由x2＋2＝，得x＝±，∴c＝，|AF2|2＝|AF1|2－|F1F2|2＝9－8＝1，2a＝|AF1|＋|AF2|＝4，a＝2
∵a2＝b2＋c2，∴b＝，∴椭圆C的方程为＋＝1
(2)由题知，点A的坐标为(，1)，∵MN＝λOA(λ≠0)，∴直线的斜率为，故设直线l的方程为y＝x＋m，联立得，x2＋mx＋m2－2＝0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，∴x1＋x2＝－m，x1x2＝m2－2，Δ＝2m2－4m2＋8>0，∴－2b>0)上一点，A，B是其左、右顶点，直线MA与MB的斜率分别为k1，k2，且k1k2＝－
(1)求椭圆E的方程；(2)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)上点N(x0，y0)处切线方程为＋＝1，若与椭圆E相切于C(x1，y1)，D(x2，y2)两点的切线相交于P点，且PC·PD＝0
求证：点P到原点的距离为定值．(1)解：由题意，2c＝2，c＝1，A(－a,0)，B(a,0)，设M(x，y)，∵k1k2＝－，∴·＝－，即＝－
∵M(x，y)在椭圆上，∴＋＝1
∴＝－，∴＝，∴a2＝2b2
又a2－b2＝c2＝1，∴a2＝2，b2＝1
∴椭圆E的方程为＋y2＝1
(2)证明：依题意，切线PC，PD的方程分别为＋y1y＝1，＋y2y＝1，即x1x＋2y1y＝2，x2x＋2y2y＝2
由，得P，∵PC·PD＝0，∴P
