【高考领航】2016届高考数学二轮复习限时训练20直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹问题文(建议用时45分钟)1.已知圆E：x2＋2＝经过椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点F1，F2，且与椭圆C在第一象限的交点为A，且F1，E，A三点共线．直线l交椭圆C于M，N两点，且MN＝λOA(λ≠0)．(1)求椭圆C的方程；(2)当△AMN的面积取到最大值时，求直线l的方程．解：(1)∵F1，E，A三点共线，∴F1A为圆E的直径，∴AF2⊥F1F2.由x2＋2＝，得x＝±，∴c＝，|AF2|2＝|AF1|2－|F1F2|2＝9－8＝1，2a＝|AF1|＋|AF2|＝4，a＝2.∵a2＝b2＋c2，∴b＝，∴椭圆C的方程为＋＝1.(2)由题知，点A的坐标为(，1)，∵MN＝λOA(λ≠0)，∴直线的斜率为，故设直线l的方程为y＝x＋m，联立得，x2＋mx＋m2－2＝0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，∴x1＋x2＝－m，x1x2＝m2－2，Δ＝2m2－4m2＋8>0，∴－22，则(b－c)2＝，因为y＝2x0，所以|b－c|＝，所以S＝|b－c|x0＝(x0－2)＋＋4≥8，当x0＝4时上式取得等号，所以△PBC面积的最小值为8.法二：设P(x0，y0)，直线PB：y－y0＝k(x－x0)，由题知PB与圆(x－1)2＋y2＝1相切，则＝1，整理得：(x－2x0)k2＋2(1－x0)y0k＋y－1＝0，k1＋k2＝－，k1k2＝，依题意x0>2，则|yB－yC|＝|(y0－k1x0)－(y)－k2x0|＝|k1－k2|x0，又|k1－k2|＝，则|yB－yC|＝，所以S＝|yB－yC||x0|＝(x0－2)＋＋4≥8，当且仅当x0＝4时上式取得等号，所以△PBC面积的最小值为8.3．(2016·长春市高三模拟)在△ABC中，顶点B(－1,0)，C(1,0)，G，I分别是△ABC的重心和内心，且IG∥BC.(1)求顶点A的轨迹M的方程；(2)过点C的直线交曲线M于P，Q两点，H是直线x＝4上一点，设直线CH，PH，QH的斜率分别为k1，k2，k3，试比较2k1与k2＋k3的大小，并加以证明．解：(1)由题意知S△ABC＝(|AB|＋|AC|＋|BC|)·r＝|BC|·|yA|，且|BC|＝2，|yA|＝3r，其中r为内切圆半径，化简得：|AB|＋|AC|＝4，顶点A的轨迹是以B，C为焦点，4为长轴长的椭圆(去掉长轴端点)，其中a＝2，c＝1，b＝，所以轨迹M的方程为＋＝1(y≠0)．(2)2k1＝k2＋k3，以下进行证明：当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ：y＝k(x－1)且P(x1，y1)，Q(x2，y2)，H(4，m)，联立可得x1＋x2＝，x1x2＝.由题意：k1＝，k2＝，k3＝.k2＋k3＝＝＝＝＝2k1.当直线PQ的斜率不存在时，不妨取P，Q，则k2＋k3＝＋＝＝2k1.综上可得2k1＝k2＋k3.4．(洛阳市2016届高三模拟)设M是焦距为2的椭圆E：＋＝1(a>b>0)上一点，A，B是其左、右顶点，直线MA与MB的斜率分别为k1，k2，且k1k2＝－.(1)求椭圆E的方程；(2)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)上点N(x0，y0)处切线方程为＋＝1，若与椭圆E相切于C(x1，y1)，D(x2，y2)两点的切线相交于P点，且PC·PD＝0.求证：点P到原点的距离为定值．(1)解：由题意，2c＝2，c＝1，A(－a,0)，B(a,0)，设M(x，y)，∵k1k2＝－，∴·＝－，即＝－.∵M(x，y)在椭圆上，∴＋＝1.∴＝－，∴＝，∴a2＝2b2.又a2－b2＝c2＝1，∴a2＝2，b2＝1.∴椭圆E的方程为＋y2＝1.(2)证明：依题意，切线PC，PD的方程分别为＋y1y＝1，＋y2y＝1，即x1x＋2y1y＝2，x2x＋2y2y＝2.由，得P，∵PC·PD＝0，∴PC⊥PD，∴＝－1，即x1x2＝－4y1y2.∵C，D在椭圆E上，∴x＋2y＝2，x＋2y＝2.∴x＝2－2y，x＝2－2y.∴|PO|2＝＝＝.∵x1x2＝－4y1y2，∴xx＝16yy.即(2－2y)(2－2y)＝16yy，(1－y)(1－y)＝4yy，得yy＝.∴|OP|2＝＝＝3.∴|PO|＝，∴P到原点的距离为定值.
