第2讲概率、随机变量及其分布列一、选择题1.有3个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同学参加各个小组的可能性相同,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为(A)(A)(B)(C)(D)解析:甲、乙两人都有3种选择,共有3×3=9种情况,甲、乙两人参加同一兴趣小组共有3种情况,所以甲、乙两人参加同一兴趣小组的概率P==,故选A.2.若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人,这五人被录用的机会均等,则甲或乙被录用的概率为(D)(A)(B)(C)(D)解析:设事件“甲或乙被录用”为事件A,则表示甲、乙都未被录用,由古典概型,P()==,所以P(A)=1-=.3.某一批花生种子,如果每1粒发芽的概率为,那么播下3粒这样的种子恰有2粒发芽的概率是(C)(A)(B)(C)(D)解析:用X表示发芽的粒数,独立重复试验服从二项分布B（3,）,P(X=2)=（）2（）1=.4.已知随机变量ξ服从正态分布N(2,1),若P(ξ>3)=0.023,则P(1≤ξ≤3)等于(D)(A)0.046(B)0.623(C)0.977(D)0.954解析:因为ξ～N(2,1),P(ξ>3)=0.023,所以由正态分布的对称性可知P(1≤ξ≤3)=1-2P(ξ>3)=1-2×0.023=0.954,所以选D.5.如图,在矩形区域ABCD的A,C两点处各有一个通信基站,假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源,基站工作正常).若在该矩形区域内随机地选一地点,则该地点无信号的概率是(A)(A)1-(B)-1(C)2-(D)解析:依题意,有信号的区域面积为×2=,矩形的面积为2,所求概率为P==1-.6.已知随机变量X的分布列为X123P0.20.40.4则E(6X+8)的值为(B)(A)13.2(B)21.2(C)20.2(D)22.2解析:由随机变量的期望公式可得E(X)=1×0.2+2×0.4+3×0.4=2.2,E(6X+8)=6E(X)+8=6×2.2+8=21.2.7.如图,△ABC和△DEF都是圆内接正三角形,且BC∥EF,将一颗豆子随机地扔到该圆内,用A表示事件“豆子落在△ABC内”,用B表示事件“豆子落在△DEF内”,则P(B|A)等于(D)(A)(B)(C)(D)解析:如图,作三条辅助线,根据已知条件得这些小三角形都全等,所以P(B|A)===.故选D.8.(2015湖北卷)设X～N(μ1,),Y～N(μ2,),这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是(C)(A)P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)(B)P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)(C)对任意正数t,P(X≤t)≥P(Y≤t)(D)对任意正数t,P(X≥t)≥P(Y≥t)解析:由题图可知μ1<0<μ2,σ1<σ2,所以P(Y≥μ2)
P(X≤σ1),故B错;当t为任意正数时,由题图可知P(X≤t)≥P(Y≤t),而P(X≤t)=1-P(X≥t),P(Y≤t)=1-P(Y≥t),所以P(X≥t)≤P(Y≥t),故C正确,D错.9.如果X～B(20,p),当p=且P(X=k)取得最大值时,k的值为(C)(A)8(B)9(C)10(D)11解析:当p=时,P(X=k)=()k·()20-k=·()20,显然当k=10时,P(X=k)取得最大值.10.已知袋中装有标号为1,2,3的三个小球,从中任取一个小球(取后放回),连取三次,则取到的小球的最大标号为3的概率为(B)(A)(B)(C)(D)解析:P==,故选B.11.如图,在网格状小地图中,一机器人从A(0,0)点出发,每秒向上或向右行走1格到相应顶点,已知向上的概率是,向右的概率是,问6秒后到达B(4,2)点的概率为(D)(A)(B)(C)(D)解析:根据题意,从A到B相当于6次试验中4次向右走,2次向上走,因此所求概率为()2·()4=,故选D.12.若a,b∈(0,2),则函数f(x)=ax3+2x2+4bx+1存在极值的概率为(A)(A)(B)(C)(D)解析:f′(x)=ax2+4x+4b,函数f(x)=ax3+2x2+4bx+1存在极值,则Δ=42-4a×4b>0,所以ab<1,又=2ln2,所以函数有极值的概率为=.二、填空题13.(2015广东卷)已知随机变量X服从二项分布B(n,p).若E(X)=30,D(X)=20,则p=.解析:因为X～B(n,p),所以E(X)=np=30,D(X)=np(1-p)=20,解得n=90,p=.答案:14.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数,则这七个数的中位数是6的概率为.解析:十个数中任取七个不同的数共有种情况,七个数的中位数为6,那么6只有处在中间位置,有种情况,于是所求概率P==.答案:15.(2014浙江卷)随机变量ξ的取值为0,1,2,若P(ξ=0)=,E(ξ)=1,则D(ξ)=.解析:设P(ξ=1)=x,P(ξ=2)=y,则得表格如下:ξ012Pxy由分布列的性质得+x+y=1,①又E(ξ)=0×+1×x+2y=1,②①、②联立,解得x=且y=.所以D(ξ)=(1-0)2×+(1-1)2×+(1-2)2×=.答案:16.甲、乙等5名志愿者被随机地分到A,B,C,D四个不同的岗位服务,每个岗位至少有一名志愿者.设随机变量X为这...
