黑龙江省大庆外国语学校高一数学必修二第一章《空间几何体》总结本章要解决的主要问题：掌握空间几何体的结构特征，会画几何体的三视图与直观图，利用条件求出几何体的表面积与体积．解决上述问题的关键：(1)熟悉各种空间几何体的概念与结构特征，能借助其各种截面进一步理解空间几何体的空间结构．(2)理解三视图中“长对正，高平齐，宽相等”的原则，严格按规定绘制，要注意空间图形中的角与线段和直观图中角与线段的关系．(3)熟练掌握利用展开图求表面积、利用三视图表现几何体，这种空间与平面的互化方法．图形的画法【例1】如图所示是一个几何体的三视图，画出它的直观图．思路点拨：简单几何体的三视图与直观图的互化问题应注意：一要确定正视、俯视、侧视的方向与直观图的对应性．1解：这个几何体是横放的三棱柱，直观图如图所示(画法略)．简单几何体的三视图与直观图的互化问题应注意：一要确定正视、俯视、侧视的方向与直观图的对应性，同一物体放置位置的不同，其三视图可能会有不同；二是三视图和直观图中看不见的轮廓线皆画成虚线画出下列空间几何体的三视图．解：图(1)的三视图如图①.图(2)的三视图如图②.①2②画三视图的标准是“长对正，高平齐，宽相等”另外要特别注意轮廓线的画法．求几何体体积的方法【例2】已知三棱柱ABCA′B′C′的体积为V，P、Q分别在侧棱AA′、CC′上，且AP＝C′Q，则四棱锥BACQP的体积是()(A)V(B)V(C)V(D)V解析：如图，VBA′B′C′＝V，VBACQP＝VBA′C′QP，VBACQP＝V.故选B.3三棱锥的每一个面都可当作底面来处理，这一方法叫做体积转移法(或称等体积法)；割补法是求几何体的体积时常用的一种方法．【例3】如图所示，已知底面半径为r的圆柱被一个平面所截，剩下部分母线长的最大值为a，最小值为b，那么圆柱被截后剩下部分的体积是多少？解：过B点作平行于底面的截面，将几何体分为两部分，下半部分是一个底面半径为r，高为b的圆柱，其体积为V1＝πr2b；将上半部分再补成圆柱，这样上半部分的体积是所补成的圆柱体积的一半，上半部分体积为V2＝πr2(a－b)．所以，所求几何体的体积为V＝V1＋V2＝πr2(a＋b)．本题的解答中既用了“割”——将几何体分割为两部分，也用了“补”——将不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，无论是“割”还是“补”，其实质都是转化与化归的思想，都是将不熟悉的内容转化为熟悉的内容．最值问题【例4】将一个底面直径为2、高为1的圆柱截成横截面为长方形的棱柱，如图，设这个长方形截面的一条边长为x，对角线长为2，截面的面积为A.(1)求面积A以x为自变量的函数式；(2)求出截得的棱柱体积的最大值．解：(1)横截面如图所示，由题意得A＝x·(0＜x＜2)．(2)V＝x·＝，由(1)知0＜x＜2，所以，当x＝时，Vmax＝2.解应用题一般有四步：设(设出未知数)、列(写出解析式或列出方程，特别地要注明函数定义域)、解(化简、求解未知量)、答(写出答案，注意单位)．易错题辨析【例5】若一个正三棱柱(底面是等边三角形)的三视图如图所示，则这个三棱柱的表面积为()4(A)18(B)15(C)24＋8(D)24＋16错解：由正三棱柱的三视图知，正三棱柱的底面边长为2，高为2，三棱柱的表面积S＝S侧＋S底＝3×4＋2××2×3＝18.故选A.错解分析：错解的原因是把底面等边三角形的高当成边长，底面等边三角形的高为2，边长为4.正解：由正三棱柱的三视图知，等边三角形ABC底边AC上的高BD＝2(如图)，则正三棱柱的底面边长为4，高为2，三棱柱的表面积S＝S侧＋S底＝3×8＋2××4×2＝24＋8.故选C.【例6】把长和宽分别为6和3的矩形卷成一个圆柱的侧面，求这个圆柱的体积．错解：设卷成的圆柱的底面半径为r，母线长为l，则2πr＝6，l＝3，所以r＝，所以V圆柱＝πr2·l＝π·()2·3＝.错解分析：错解的原因是只把宽当成母线，沿着矩形的长卷成圆柱，没有考虑到也可以沿着矩形的宽卷成圆柱．正解：设圆柱的底面半径为r，母线长为l，则(1)当2πr＝6时，r＝，l＝3，所以V圆柱＝πr2·l＝π·()2·3＝.(2)当2πr＝3时，r＝，l＝6，所以V圆柱＝πr2·l＝π·()2·6＝.所以所得圆柱的体积为或.5
