高中数学球类问题赏析专题辅导VIP免费

高中数学球类问题赏析球类问题，画起图来麻烦，分析思考就更困难了，但球类问题却是高中数学的重点内容之一，高考中年年都考。下面例谈如何突破难关，解决球类问题。一.多球相切例1.将半径都为1的四个球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为（）A.3263B.2263C.4263D.43263分析：设正四面体为A1－B1C1D1，它的高有最小值时，四球两两外切，并且同时内切于正四面体，两球外切时，球心连线通过切点，球心距等于两球半径之和。四球心连线构成的正四面体A－BCD（如图1）与正四面体A1－B1C1D1相似，过高AH及棱AB作的一个截面（如图2），包含其主要元素。图1图2由正四面体A－BCD的棱长AB＝2，求得AH263利用RtAFARtAHE11~，得A1A＝3AF1＝3，而HH1＝1∴正四面体A1－B1C1D1的高A1H1的最小值AAAHHH114263故选C点评：解决多球相切的问题，常用的方法有两种：①连球心，转化为多面体问题；②找截面，化为平面几何问题。二.球与多面体相接例2.如图3，已知正三棱锥P－ABC中，E、F分别是AC、AB的中点，△ABC、△PEF都是正三角形，PFAB（1）证明PC平面PAB用心爱心专心（2）求二面角P－AB－C的平面角的余弦值。（3）若点P、A、B、C在一个表面积为12的球面上，求△ABC的边长。分析：（1）利用PCPA，PCAB，即可证明结论。（2）PFC是二面角P－AB－C的平面角，cosPFC33（3）由（1）（2）可证P－ABC是正三棱锥，APBBPCCPA90。如图3，把它的高PK延长交球面于另一点D，则PD是球的直径。图3设PA＝x，球的半径为R，则ABx2，AKx63，PKx33在RtPAD中，由PAPKPD2，得PDxR324122RR3得x＝2△ABC的边长为22三.球面距离例3.如图4，已知球O的半径为1，A、B、C三点都在球面上，且每两点间的球面距离为2，则球心O到平面ABC的距离为（）A.13B.33C.23D.63图4分析：紧紧抓住球心O，由于A、B、C每两点间的球面距离为2，因此，球心角AOBBOCCOA2用心爱心专心而OA＝OB＝OC＝1即O－ABC是正三棱锥OAOBC平面，SSBOCABC1232，由VVABOCOABC得OAShSBOCABCh33，故选B练习题：设地球的半径为R，若甲地位于北纬45°东经120°，乙地位于南纬75°东经120°，则甲、乙两地的球面距离为（）A.3RB.R6C.56RD.23R参考答案：D用心爱心专心