课时作业25正弦定理和余弦定理的应用一、选择题1．已知△ABC的面积为，AC＝，∠B＝，则△ABC的周长等于()A．3＋B．3C．2＋D.解析：设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则由三角形的面积公式和余弦定理得，b＝，ac·＝，所以ac＝2，又3＝a2＋c2－2ac·，所以3＝(a＋c)2－3ac，解得a＋c＝3，所以△ABC的周长为3＋.答案：A2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2＋b2＝2c2，则cosC的最小值为()A.B.C.D．－解析：由余弦定理得cosC＝＝≥.即cosC的最小值为，故选C.答案：C3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sinA，sinB，sinC成等比数列，且c＝2a，则cosB的值为()A.B.C.D.解析：因为sinA，sinB，sinC成等比数列，所以sin2B＝sinAsinC，由正弦定理得b2＝ac，又c＝2a，故cosB＝＝＝.答案：B4．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c.若∠C＝120°，c＝a，则()A．a>bB．a0，故有a－b>0，即a>b.答案：A5．在△ABC中，若sin(A－B)＝1＋2cos(B＋C)sin(A＋C)，则△ABC的形状一定是()A．等边三角形B．不含60°的等腰三角形C．钝角三角形D．直角三角形解析： sin(A－B)＝1＋2cos(B＋C)sin(A＋C)＝1－2cosAsinB，∴sinAcosB－cosAsinB＝1－2cosAsinB，∴sinAcosB＋cosAsinB＝1，即sin(A＋B)＝1，则有A＋B＝，故三角形为直角三角形．答案：D6．(2016·云南一检)已知△ABC的内角A，B，C对的边分别为a，b，c，sinA＋sinB＝2sinC，b＝3，当内角C最大时，△ABC的面积等于()A.B.C.D.解析：根据正弦定理及sinA＋sinB＝2sinC，得a＋b＝2c，c＝，cosC＝＝＝＋－≥2－＝，当且仅当＝，即a＝时，等号成立．此时sinC＝，S△ABC＝absinC＝××3×＝.答案：A二、填空题7．在△ABC中，若AB＝，AC＝1，B＝30°，则△ABC的面积为________．解析：如图所示，由正弦定理，得sinC＝＝.而c>b，∴C＝60°或C＝120°.∴A＝90°或A＝30°.∴S△ABC＝bcsinA＝或.答案：或8．已知以2，3，x为边长的三角形不是钝角三角形，则x的取值范围是________．解析：因为2<3，所以只需，即5≤x2≤13，又因为x>0，所以≤x≤.答案：[，]9．若△ABC的内角满足sinA＋sinB＝2sinC，则cosC的最小值是________．解析：由sinA＋sinB＝2sinC，结合正弦定理得a＋b＝2c.由余弦定理得cosC＝＝＝≥＝，故≤cosC<1，故cosC的最小值为.答案：三、解答题10．(2015·山东卷)设f(x)＝sinxcosx－cos2.(1)求f(x)的单调区间；(2)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若f＝0，a＝1，求△ABC面积的最大值．解：(1)由题意知f(x)＝－＝－＝sin2x－.由－＋2kπ≤2x≤＋2kπ，k∈Z，可得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z；由＋2kπ≤2x≤＋2kπ，k∈Z，可得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.所以f(x)的单调递增区间是(k∈Z)；单调递减区间是(k∈Z)．(2)由f＝sinA－＝0，得sinA＝，由题意知A为锐角，所以cosA＝.由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，可得1＋bc＝b2＋c2≥2bc，即bc≤2＋，且当b＝c时等号成立．因此bcsinA≤.所以△ABC面积的最大值为.11．已知△ABC的三内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量m＝(sinB，1－cosB)与向量n＝(2，0)的夹角θ的余弦值为.(1)求角B的大小；(2)若b＝，求a＋c的取值范围．解：(1) m＝(sinB，1－cosB)，n＝(2，0)，∴m·n＝2sinB，|m|＝＝＝2. 00.∴|m|＝2sin.又 |n|＝2，∴cosθ＝＝＝cos＝.∴＝，∴B＝π.(2)由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosπ＝a2＋c2＋ac＝(a＋c)2－ac≥(a＋c)2－＝(a＋c)2，当且仅当a＝c时，取等号．∴(a＋c)2≤4，即a＋c≤2.又a＋c>b＝，∴a＋c∈(，2]．1．(2016·石家庄市一模)已知平面图形ABCD为凸四边形(凸四边形即任取平面四边形一边所在的直线，其余各边均在此直线的同侧)，且AB＝2，BC＝4，CD＝5，DA＝3，则四边形ABCD面积S的最大值为()A.B．2C．4D．6解析：根据题意，连接BD，则S＝×2×3×sinA＋×4×5×sinC＝3sinA＋10sinC.根据余弦定理得，BD2＝13－12cosA＝41－40cosC，得10cosC－3c...
