第三讲圆锥曲线性质的探讨测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.圆在平面上的平行射影可能是()A.线段B.圆C.椭圆D.以上都有可能答案:D2.过球面上一点可以作球的()A.一条切线和一个切平面B.两条切线和一个切平面C.无数条切线和一个切平面D.无数条切线和无数个切平面解析:过球面上一点可以作球的无数条切线,并且这些切线在同一个平面内,过球面上一点可以作一个球的切平面.答案:C3.若一直线与平面的一条斜线在此平面上的射影垂直,则这条直线与这条斜线的位置关系是()A.垂直B.异面C.相交D.不能确定解析:当这条直线在平面内时,则A成立;当这条直线是平面的垂线时,则B或C成立,故选D.答案:D4.如图,平面截圆柱,截面是一个椭圆.若截面与圆柱底面所成的角为60°,则椭圆的离心率为()A.B.C.D.解析:依题意,得截面与圆柱母线的夹角为30°,因此椭圆离心率e=cos30°=.答案:C5.方程x2-3x+2=0的两根可作为()A.两个椭圆的离心率B.一双曲线、一条抛物线的离心率C.两双曲线的离心率D.一个椭圆、一条抛物线的离心率解析:方程的两根分别为x1=1,x2=2,而椭圆离心率满足01,抛物线的离心率e=1,故可以作为一双曲线、一条抛物线的离心率.答案:B6.给出以下结论:①圆的平行射影可以是椭圆,但椭圆的射影不可能是圆;②平行四边形的平行射影仍然是平行四边形(平行四边形所在平面与投射线不平行);③圆柱与平面的截面可以看作是底面的平行射影,反之亦然.其中正确的是()A.①②B.②③C.①③D.①②③解析:因为平面图形的射影具有可逆性,即当一平面图形所在平面与投影平面不垂直时,该图形与其射影可以相互看作为对方的平行射影,只是投影方向相反罢了,所以①是错误的;③是正确的;因为当平行四边形所在平面与投射线不平行时,平行线的平行射影仍然是平行线,所以平行四边形的平行射影仍然是平行四边形,故②也正确.答案:B7.1如图,用一平面竖直地去截放在桌面上的圆柱,给出下列结论:①截面呈正方形;②AD∥BC,AB∥CD;③AB⊥BC,AD⊥AB;④AD=BC,AB=CD.其中正确的个数为()A.1B.2C.3D.4解析:①只能判断截面ABCD为矩形,故错误;②AD∥BC,AB∥CD,故正确;③AB⊥BC,AD⊥AB,故正确;④AD=BC,AB=CD,故正确.综上可得②③④正确,故正确的有3个.答案:C8.一个圆锥的底面半径为3,高为4,用一个不经过圆锥顶点且与圆锥轴的夹角为60°的平面截该圆锥,所得圆锥曲线的离心率等于()A.B.C.D.解析:由已知得圆锥母线长为5.若设圆锥母线与轴的夹角为α,则cosα=.又平面与圆锥轴的夹角β=60°,所以所得圆锥曲线的离心率e=.答案:A9.已知一个平面与一个等边圆锥(轴截面为正三角形)的轴的夹角为75°,则该平面与圆锥面交线是()A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线解析:由已知得圆锥母线与轴的夹角为30°,而平面与轴的夹角为75°,即β>α,故该平面与圆锥面交线是椭圆.答案:B10.若双曲线=1上一点P到双曲线右焦点的距离是4,则点P到左准线的距离为()A.B.C.16D.8解析:由双曲线=1,得a=8,b=6,c==10,∴准线方程为x=±=±=±.设点P到右准线的距离为d,则由双曲线的第二定义知=e=,∴d=.∴点P到左准线的距离为d+=16.答案:C11.已知平面与圆锥轴线夹角为45°,圆锥母线与轴线夹角为60°,平面与圆锥面交线的轴长为2,则所得圆锥曲线的焦距为()A.B.2C.4D.解析: e=,∴.∴c=,2c=2.答案:B12.2导学号52574056如图,一个圆柱被一个平面所截,截面椭圆的长轴长为5,短轴长为4,被截后的几何体的最短母线长为2,则这个几何体的体积等于()A.42πB.28πC.21πD.14π解析:圆柱的底面直径为椭圆的短轴长4,几何体的最长母线长为2+=5.用一个同样的几何体补在上面,可得底面半径为2,高为5+2=7的圆柱,其体积的一半为所求几何体的体积,即π×22×7×=14π.答案:D二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.两个大小不等的球相交,交线是.答案:圆14.将两个半径均为2cm的球嵌入底面半径为2cm的圆柱中,使两球心的距离为6cm;用一个平面分别与两个球相切,所成的截线为一个椭圆,则该椭圆的长轴长为,短轴长为,焦距为,离心率为.答案:64215.已知圆面积为5,该圆与平行射影方向垂直,其射影面积为10,则平行射影方向与射影面的夹角是.解析:如图,BC为射影方向,显然AB所在平...
