4.1.3球坐标系与柱坐标系练习1．设点M的直角坐标为(－1，3，2)，则它的柱坐标是__________．2．设点P的直角坐标为(－1，－1，2)，则它的球坐标为__________．3．如图，在柱坐标系中，长方体的两个顶点分别为A1(4,0,5)，C1π6,,52，则此长方体的体积为__________．4．在柱坐标系中，已知π1,,02A，π1,,22B及O(0,0,0)三点，则△ABO的面积为__________．5．如图，点M的球坐标是____________.6．在球坐标系中，Mππ446，，与Nπ24π43，，两点间的距离是__________．7．设点A的柱坐标为π2,,64，则它的球坐标为__________．8．将直角坐标系中的点M(－3，3，3)转化成柱坐标．9．如图，长方体OABCD′A′B′C′中，|OA|＝3，|OC|＝3，|OD′|＝2，A′C′与B′D′相交于点P，分别写出点C，B′，P的柱坐标．10．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，|CA|＝|CB|＝1，∠BCA＝90°，棱|AA1|＝2，M是A1B1的中点．建立适当的坐标系，求点M的空间直角坐标和柱坐标．12参考答案1.答案：4π2,,23解析：设点M的柱坐标为(r，θ，z)，则tan3yx.∵0≤θ＜2π，x＜0，∴4π3，22(1)(3)2r，z＝2.∴点M的柱坐标为4π2,,23.2.答案：π5π2,,44解析：设P点的球坐标为(r，φ，θ)，则有1tan11yx.∵0≤θ＜2π，x＜0，∴5π4，222(1)(1)(2)2r.∴22coscos2r.∵0≤φ≤π，∴π4.∴P点的球坐标为π5π2,,44.3.答案：120解析：由长方体的两个顶点分别为A1(4,0,5)，C1π6,,52，可知|OA|＝4，|OC|＝6，|OO1|＝5，故长方体的体积为4×5×6＝120.4.答案：1解析：∵π1,,02A，π1,,22B，O(0,0,0)，∴△OAB为直角三角形．∴11||||121.22OABSOAAB5.答案：(R，φ，θ)解析：抓住球坐标定义，记|OM|＝R，OM与z轴正向所夹的角为φ，设M在Oxy平面上的射影为Q，Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角为θ.这样点M的位置就可以用有序数组(R，φ，θ)表示．故点M的球坐标为(R，φ，θ)．6.答案：4解析：设点Mππ446，，的直角坐标为(x，y，z)，则3ππ23=sincos=4sincos=46,4622ππ21=sinsin=4sinsin=42,4622π=cos=4cos22.4xryrzr∴M点的直角坐标为(6，2，22)，同理，N点的直角坐标为(2，6，22)．∴|MN|＝222(62)(26)(2222)＝4.7.答案：ππ22,,64解析：设A的直角坐标为(x，y，z)，则πcos2cos14xr，πsin2cos14yr，6z，∴点A的直角坐标为(1,1，6)．设点A的球坐标为(r，φ，θ)．则有sincos1sincossinsin1sinsincos6cos.xrryrrzrr∴tanθ＝1.又∵0≤θ＜2π，x＞0，∴π4，22222211(6)22rxyz.∴63cos222.又∵0≤φ≤π，∴π6.∴点A的球坐标为ππ22,,64.8.解：设点M的柱坐标为(r，θ，z)，则由cossin,xryrzz得3tan,33.yxz∵0≤θ＜2π且x＜0，∴5π6，23r.∴M点的柱坐标为523,π,36.49.解：∵π2AOC，|OC|＝3，∴点C的柱坐标为π3,,02.∵22||3332OB，|BB′|＝2，π4AOB，∴点B′的柱坐标为π32,,24.同理，点P的柱坐标为32π,,224.10.解：建立如图所示的坐标系，过点M作底面xCy的垂线MN交AB于点N.∵ABC－A1B1C1是直三棱柱，∴N点在线段AB上．由点N分别作x轴，y轴的垂线NE，NF，垂足为E，F，根据已知，可得△ABC是等腰直角三角形，∴|NE|＝|NF|＝12.故点M的空间直角坐标为11,,222.由于点M在平面xCy上的射影为点N，|CN|＝22，∠ECN＝π4，故点M的柱坐标为2π,,224.5
