一平面直角坐标系课时过关·能力提升基础巩固1点P(1,-2)关于点A(-1,1)的对称点P'的坐标为()A.(3,4)B.(-3,4)C.(3,-4)D.(-3,-4)答案B2给出下列曲线:①直线;②圆;③椭圆;④双曲线;⑤抛物线.在平面直角坐标系中,经过伸缩变换,以上曲线类型可能发生变化的是()A.②③B.①④⑤C.①②③D.②③④⑤解析只有圆和椭圆在伸缩变换中是可以互相转变的,其他三种曲线在伸缩变换后仍属于同类型的曲线.答案A3若△ABC三个顶点的坐标分别是A(1,2),B(2,3),C(3,1),则△ABC的形状为()A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.钝角三角形解析|AB|¿√(2-1)2+(3-2)2=√2,|BC|¿√(3-2)2+(1-3)2=√5,|AC|¿√(3-1)2+(1-2)2=√5,|BC|=|AC|≠|AB|,故△ABC为等腰三角形.答案A4在平面直角坐标系中,经过伸缩变换{x'=17x,y'=4y后,曲线C变为曲线x'2+y'2=1,则曲线C的方程为()A.49x2+16y2=1B.49x2+y216=1C.x249+16y2=1D.x249+y216=1解析将伸缩变换{x'=17x,y'=4y代入x'2+y'2=1,得x249+16y2=1.答案C15已知有相距1400m的甲、乙两个观测站,在甲站听到爆炸声的时间比在乙站听到爆炸声的时间早4s.若当时声音的传播速度为340m/s,建立适当的平面直角坐标系,则爆炸点所在的曲线为()A.双曲线的一支B.直线C.椭圆D.抛物线答案A6在平面直角坐标系中,将点P(-2,2)变换为P'(-6,1)的伸缩变换公式为()A.{x'=13x,y'=2yB.{x'=12x,y'=3yC.{x'=3x,y'=12yD.{x'=3x,y'=2y解析由伸缩变换公式{x'=λx(λ>0),y'=μy(μ>0),得{-6=λ×(-2),1=μ×2.所以{λ=3,μ=12,故伸缩变换公式为{x'=3x,y'=12y.答案C7在平面直角坐标系中,方程3x-2y+1=0所对应的直线经过伸缩变换{x'=13x,y'=2y后的直线方程为.解析由伸缩变换{x'=13x,y'=2y得{x=3x',y=12y',将其代入方程3x-2y+1=0,得9x'-y'+1=0.答案9x'-y'+1=08已知函数f(x)¿√(x-1)2+1+√(x+1)2+1,则f(x)的最小值为.解析f(x)可看作是平面直角坐标系中x轴上的一点(x,0)到两定点(1,1)和(-1,1)的距离之和,结合图形可得,f(x)的最小值为2√2.答案2√229在平面直角坐标系中,求下列方程所对应的图形经过伸缩变换{x'=12x,y'=13y后的图形.(1)5x+2y=0;(2)x2+y2=2.解(1)由伸缩变换{x'=12x,y'=13y,得{x=2x',y=3y',将其代入5x+2y=0,得到经过伸缩变换后的图形的方程是5x'+3y'=0.所以经过伸缩变换{x'=12x,y'=13y后,直线5x+2y=0变成直线5x'+3y'=0.(2)将{x=2x',y=3y'代入x2+y2=2,得到经过伸缩变换后的图形的方程是x'214+y'219=2,即x'212+y'229=1.所以经过伸缩变换{x'=12x,y'=13y后,圆x2+y2=2变成椭圆x'212+y'229=1.10在△ABC中,底边BC的长为12,其他两边AB和AC上的中线CE和BD的和为30,建立适当的平面直角坐标系,求△ABC的重心G的轨迹方程.解以BC边所在的直线为x轴,BC边上的中点为原点建立如图所示的平面直角坐标系,则B(6,0),C(-6,0).由|BD|+|CE|=30,得|GB|+|GC|¿23¿所以重心G的轨迹是椭圆.设G(x,y),则其轨迹方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0).易知a=10,c=6,由此可得b=8.3因为点G不可能位于x轴上,所以x≠±10.故重心G的轨迹方程为x2100+y264=1¿≠±10).能力提升1在平面直角坐标系中,经过伸缩变换{x'=5x,y'=3y后,曲线C变为曲线2x'2+8y'2=1,则曲线C的方程为()A.50x2+72y2=1B.9x2+100y2=1C.10x2+24y2=1D.225x2+89y2=1解析将{x'=5x,y'=3y代入2x'2+8y'2=1,得2×(5x)2+8×(3y)2=1,即50x2+72y2=1.故所求曲线C的方程为50x2+72y2=1.答案A2若点P(-2017,2016)经过伸缩变换{x'=12016x,y'=12017y后所得的点在曲线y'=kx'上,则k=()A.1B.-1C.2016D.-2017解析 P(-2017,2016),∴x=-2017,y=2016,∴{x'=-20172016,y'=20162017.将其代入y'¿kx',得k=x'y'=-1.答案B★3已知点A(-1,3),点B(3,1),点C在坐标轴上,∠ACB=90°,则满足条件的点C的个数是()A.1B.2C.3D.4解析若点C在x轴上,可设点C的坐标为(x,0).由∠ACB=90°,得|AB|2=|AC|2+|BC|2,所以有(-1-3)2+(3-1)2=(x+1)2+32+(x-3)2+12,解得x1=0,x2=2.所以点C的坐标为(0,0)或(2,0).若点C在y轴上,可设点C的坐标为(0,y).由∠ACB=90°,得|AB|2=|AC|2+|BC|2,所以有(-1-3)2+(3-1)2=(0+1)2+(y-3)2+(0-3)2+(y-1)2,解之,得y1=0,y2=4.所以点C的坐标为(0,0)或(0,4).故满足条件的点C的个数为3.4答案C4将双曲线C经过伸缩变换{x'=2x,y...
