(四)数列1．(2017届湖南省长沙市雅礼中学模拟)已知数列{an}中，a1＝1，a3＝9，且an＝an－1＋λn－1(n≥2，n∈N*)．(1)求λ的值及数列{an}的通项公式；(2)设bn＝(－1)n(an＋n)，且数列{bn}的前2n项和为S2n，求S2n.解(1)∵a1＝1，a3＝9，且an＝an－1＋λn－1(n≥2，n∈N*)，∴a2＝2λ，a3＝5λ－1＝9，解得λ＝2，∴an－an－1＝2n－1(n≥2，n∈N*)，∴an＝(2n－1)＋(2n－3)＋…＋3＋1＝＝n2.(2)bn＝(－1)n(an＋n)＝(－1)n(n2＋n)，b2n－1＋b2n＝－[(2n－1)2＋(2n－1)]＋[(2n)2＋2n]＝4n，S2n＝4×＝2n2＋2n.2．(2017·河北省衡水中学二模)已知数列{an}满足a1＝1，＝＋2，n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设以2为公比的等比数列{bn}满足4log2bn·log2bn＋1＝an＋12n＋11(n∈N*)，求数列{bn－log2bn}的前n项和Sn.解(1)由题意知，数列{}是以2为首项，2为公差的等差数列，∴＝2＋2(n－1)＝2n，故an＝4n2－3.(2)设等比数列{bn}的首项为b1，则bn＝b1×2n－1，依题意有4log2bn·log2bn＋1＝4log2(b1×2n－1)·log2(b1×2n)＝4(log2b1＋n－1)(log2b1＋n)＝4(log2b1)2－4log2b1＋4×(2log2b1－1)n＋4n2＝4n2＋12n＋8，即解得log2b1＝2，b1＝4，故bn＝4×2n－1＝2n＋1.∵bn－log2bn＝2n＋1－(n＋1)，∴Sn＝－＝2n＋2－4－.3．已知数列{an}的前n项和为Sn，满足an＝＋2n－2，n∈N*，且S2＝6.(1)求数列{an}的通项公式；(2)证明：＋＋＋…＋<.(1)解由an＝＋2n－2，得a2＝＋2＝5，∴a1＝S2－a2＝1.由an＝＋2n－2，得Sn＝nan－2n2＋2n，∴Sn－1＝(n－1)an－1－2(n－1)2＋2(n－1)，n≥2，∴an＝Sn－Sn－1＝nan－(n－1)an－1－4n＋4，即(n－1)an＝(n－1)an－1＋4(n－1)，∴an＝an－1＋4，即数列{an}是首项为1，公差为4的等差数列，∴an＝1＋4(n－1)＝4n－3.(2)证明由(1)得an＝4n－3，则Sn＝2n2－n.方法一＝＝＝2，当n＝1时，＝1<成立，当n≥2时，＋＋＋…＋＝1＋2＋2＋…＋2＝1＋＋2＋2＋…＋2＋2<1＋＝，∴＋＋＋…＋<.方法二当n＝1时，＝1<成立，当n＝2时，＋＝1＋<成立，当n≥3时，＝<＝－，∴＋＋＋…＋<1＋＋＋＋…＋＝－<，∴＋＋＋…＋<.4．(2017届南京、盐城模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}，{cn}满足(n＋1)bn＝an＋1－，(n＋2)cn＝－，其中n∈N*.(1)若数列{an}是公差为2的等差数列，求数列{cn}的通项公式；(2)若存在实数λ，使得对一切n∈N*，有bn≤λ≤cn，求证：数列{an}是等差数列．(1)解因为{an}是公差为2的等差数列，所以an＝a1＋2(n－1)，＝a1＋n－1，从而(n＋2)cn＝－(a1＋n－1)＝n＋2，即cn＝1.(2)证明由(n＋1)bn＝an＋1－，得n(n＋1)bn＝nan＋1－Sn，(n＋1)(n＋2)bn＋1＝(n＋1)an＋2－Sn＋1,两式相减，并化简得an＋2－an＋1＝(n＋2)bn＋1－nbn.从而(n＋2)cn＝－＝－[an＋1－(n＋1)bn]＝＋(n＋1)bn＝＋(n＋1)bn＝(n＋2)(bn＋bn＋1)，因此cn＝(bn＋bn＋1)．因为对一切n∈N*，有bn≤λ≤cn，所以λ≤cn＝(bn＋bn＋1)≤λ，故bn＝λ，cn＝λ.所以(n＋1)λ＝an＋1－，①(n＋2)λ＝(an＋1＋an＋2)－，②由②－①，得(an＋2－an＋1)＝λ，即an＋2－an＋1＝2λ.故an＋1－an＝2λ(n≥2)．又2λ＝a2－＝a2－a1，则an＋1－an＝2λ(n≥1)．所以数列{an}是等差数列．5．(2017届天津市耀华中学模拟)各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且满足a2＝4，a＝6Sn＋9n＋1，n∈N*，各项均为正数的等比数列{bn}满足b1＝a1，b3＝a2.(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)若cn＝(3n－2)·bn，数列{cn}的前n项和为Tn.①求Tn；②若对任意n≥2，n∈N*，均有(Tn－5)m≥6n2－31n＋35恒成立，求实数m的取值范围．解(1)∵a＝6Sn＋9n＋1，∴a＝6Sn－1＋9(n－1)＋1，∴a－a＝6an＋9(n≥2)，∴a＝(an＋3)2.又∵数列{an}各项均为正数，∴an＋1＝an＋3(n≥2)．∴数列{an}从a2开始成等差数列，又a2＝4,42＝6a1＋9＋1，∴a1＝1，∴a2－a1＝3，∴{an}是首项为1，公差为3的等差数列，∴an＝3n－2.∵b1＝1，b3＝4，∴bn＝2n－1.(2)cn＝(3n－2)·2n－1，①Tn＝1·20＋4·21＋…＋(3n－2)·2n－1，2Tn＝1·21＋4·22＋…＋(3n－2)·2n，∴两式相减得－Tn＝1＋3(21＋22＋…＋2n－1)－(3n－2)·2n＝1＋6(2n－1－1)－(3n－2)·2n，∴Tn＝(3n－5)·2n＋5.②(3n－5)·2n·m≥6n2－31n＋35恒成立，∴m≥＝＝，即m≥恒成立，设kn＝，kn＋1－kn＝－＝，当n≤4时，kn＋1>kn，当n≥5时，kn＋1
