2.5直线与圆锥曲线[A基础达标]1．直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系为()A．相交B．相切C．相离D．不确定解析：选A．因为y＝kx－k＋1，所以y－1＝k(x－1)，过定点(1，1)，定点在椭圆＋＝1内部，故选A．2．椭圆＋＝1的右焦点到直线y＝x的距离是()A．B．C．1D．解析：选B．椭圆的右焦点为F(1，0)，所以d＝＝.3．抛物线y2＝12x截直线y＝2x＋1所得弦长等于()A．B．2C．D．15解析：选A．令直线与抛物线交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)由得4x2－8x＋1＝0，所以x1＋x2＝2，x1x2＝，所以|AB|＝＝＝.4．椭圆ax2＋by2＝1与直线y＝1－x交于A，B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为，则的值为()A．B．C．D．解析：选A．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点坐标为(x0，y0)，则ax＋by＝1，ax＋by＝1，两式相减得a(x－x)＝－b(y－y)，即＝－＝＝.5．椭圆mx2＋ny2＝1与直线x＋y－1＝0相交于A，B两点，过AB的中点M与坐标原点的直线的斜率为，则的值为()A．B．C．1D．2解析：选A．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则mx＋ny＝1，mx＋ny＝1，两式相减得mx－mx＋ny－ny＝0，即m(x1－x2)(x1＋x2)＝－n(y1－y2)(y1＋y2)，所以＝－·＝－1，①又＝，②由①②得＝.6．已知以F1(－2，0)，F2(2，0)为焦点的椭圆与直线x＋y＋4＝0有且仅有一个公共点，则椭圆的长轴长为________．解析：由题意可设椭圆方程＋＝1，联立直线与椭圆方程，由Δ＝0得a＝.故椭圆的长轴长为2a＝2.答案：27．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)，则过它的焦点且垂直于x轴的弦长为________．1解析：设一个焦点为F(c，0)，其中c2＝a2＋b2，过F且垂直于x轴的弦为AB，则A(c，y0)，因为A(c，y0)在双曲线上，所以－＝1.所以y0＝±b＝±.所以|AB|＝2|y0|＝.答案：8．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线为l，过M(1，0)且斜率为的直线与l相交于点A，与C的一个交点为B，若AM＝MB，则p＝________．解析：过B作BE垂直于准线l于E，因为AM＝MB，所以M为AB的中点，所以|BM|＝|AB|，又斜率为，∠BAE＝30°，所以|BE|＝|AB|，所以|BM|＝|BE|，所以M为抛物线的焦点，所以p＝2.答案：29．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一个焦点为F(，0)，实轴长为2，经过点M(2，1)作直线l交双曲线C于A，B两点，且M为AB的中点．(1)求双曲线C的方程；(2)求直线l的方程．解：(1)由已知，得2a＝2，c＝，所以a＝1，b2＝c2－a2＝2，所以双曲线C的方程为x2－＝1.(2)设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意可知直线l的斜率存在，则可设直线l的方程为y－1＝k(x－2)，即y＝kx＋1－2k.把y＝kx＋1－2k代入双曲线C的方程x2－＝1，得(2－k2)x2－2k(1－2k)x－(1－2k)2－2＝0，①由题意可知2－k2≠0，所以xM＝＝＝2，解得k＝4.当k＝4时，方程①可化为14x2－56x＋51＝0.此时Δ＝562－56×51＝280>0，方程①有两个不等的实数解．所以直线l的方程为y＝4x－7.10．设F1、F2分别为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，过F2的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60°，F1到直线l的距离为2.(1)求椭圆C的焦距；(2)如果AF2＝2F2B，求椭圆C的方程．解：(1)设焦距为2c，由已知可得F1到直线l的距离c＝2，故c＝2.所以椭圆C的焦距为4.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知y1<0，y2>0.直线l的方程为y＝(x－2)．联立2得(3a2＋b2)y2＋4b2y－3b4＝0.解得y1＝，y2＝.因为AF2＝2F2B，所以－y1＝2y2.即＝2·.得a＝3.而a2－b2＝4，所以b＝.故椭圆C的方程为＋＝1.[B能力提升]11．已知椭圆C的标准方程为＋＝1，试确定m的取值范围，使得对于直线l：y＝4x＋m，椭圆C上有不同的两点关于直线l对称．解：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)是椭圆C上关于直线l：y＝4x＋m对称的两个点，M(x，y)是它们的中点，则有所以3(x1－x2)(x1＋x2)＋4(y1－y2)(y1＋y2)＝0.因为x1＋x2＝2x，y1＋y2＝2y，x1≠x2，所以＝－＝－kPQ＝，所以y＝3x.由得M(－m，－3m)．因为点M在椭圆C的内部，所以＋<1，所以－b>0)交于P、Q两点，直线l与y轴交于点R，且OP·OQ＝－3，PR＝3RQ，求直线l和椭圆C的方程．解：因为椭圆离心率为，所以＝，a2＝2b2＝2c2，所以椭...
