课时作业25空间向量与垂直关系时间：45分钟——基础巩固类——一、选择题1．若向量m同时垂直于向量a和b，向量n＝λa＋μb(λ，μ∈R，λ，μ≠0)，则(B)A．m∥nB．m⊥nC．m与n既不平行也不垂直D．以上三种情况均有可能解析：m·n＝m·(λa＋μb)＝λm·a＋μm·b＝0.2．已知直线l与平面α垂直，直线l的一个方向向量为u＝(1，－3，z)，向量v＝(3，－2,1)与平面α平行，则z等于(C)A．3B．6C．－9D．9解析： l⊥α，v与平面α平行，∴u⊥v，即u·v＝0，∴1×3＋3×2＋z×1＝0，∴z＝－9.3．已知平面α内的三点A(0,0,1)、B(0,1,0)、C(1,0,0)，平面β的一个法向量为n＝(－1，－1，－1)，且β与α不重合，则(A)A．α∥βB．α⊥βC．α与β相交不垂直D．以上都不对解析：AB＝(0,1，－1)，AC＝(1,0，－1)，n·AB＝－1×0＋(－1)×1＋(－1)×(－1)＝0，n·AC＝－1×1－1×0＋(－1)×(－1)＝0，∴n⊥AB，n⊥AC.∴n也为α的一个法向量．又α与β不重合，∴α∥β.4．在菱形ABCD中，若PA是平面ABCD的法向量，则以下等式中可能不成立的是(C)A.PA·AB＝0B.PC·BD＝0C.PC·AB＝0D.PA·CD＝0解析： PA⊥平面ABCD，∴BD⊥PA.又AC⊥BD，∴PC⊥BD.故选项B正确，选项A和D显然成立．故选C.5．如图所示，正方体AC1中，平面A1ACC1的一个法向量可以是(D)A.BC1B.A1B1C.BB1D.BD解析：BD⊥平面A1ACC1，所以BD是平面A1ACC1的一个法向量．6．已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是(D)A．1B.C.D.解析：因为ka＋b＝(k－1，k,2)，2a－b＝(3,2，－2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，所以(ka＋b)·(2a－b)＝3(k－1)＋2k－4＝0，解得k＝，故选D.7．已知三条直线l1，l2，l3的一个方向向量分别为a＝(4，－1，0)，b＝(1,4,5)，c＝(－3,12，－9)，则(A)A．l1⊥l2，但l1与l3不垂直B．l1⊥l3，但l1与l2不垂直C．l2⊥l3，但l2与l1不垂直D．l1，l2，l3两两互相垂直解析： a·b＝(4，－1,0)·(1,4,5)＝4－4＋0＝0，a·c＝(4，－1,0)·(－3,12，－9)＝－12－12＋0＝－24≠0，b·c＝(1,4,5)·(－3,12，－9)＝－3＋48－45＝0，∴a⊥b，a与c不垂直，b⊥c.∴l1⊥l2，l2⊥l3，但l1不垂直于l3.8．在正方体ABCDA1B1C1D1中，若E为A1C1的中点，则直线CE垂直于(B)A．ACB．BDC．A1DD．A1A解析：建立如下图坐标系，设正方体棱长为1，则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，E(，，1)．∴CE＝(，，1)－(0,1,0)＝(，－，1)．AC＝(－1,1,0)，BD＝(－1，－1,0)，A1D＝(－1,0，－1)，A1A＝(0,0，－1)． CE·BD＝(，－，1)·(－1，－1,0)＝－＋＋0＝0.∴CE⊥BD，∴CE⊥BD.二、填空题9．设A是空间任意一点，n为空间任一非零向量，则适合条件AM·n＝0的点M的轨迹是过A与n垂直的平面．10．已知A、B、C三点的坐标分别为A(4,1,3)，B(2，－5,1)，C(3,7，λ)，若AB⊥AC，则λ等于－14.解析： AB＝(－2，－6，－2)，AC＝(－1,6，λ－3)，2AB·AC＝2－36－2(λ－3)＝0，∴λ＝－14.11．已知a＝(0,1,1)，b＝(1,1,0)，c＝(1,0,1)分别是平面α、β、γ的法向量，则α、β、γ三个平面中互相垂直的有0对．解析： a·b＝(0,1,1)·(1,1,0)＝1≠0，a·c＝(0,1,1)·(1,0,1)＝1≠0，b·c＝(1,1,0)·(1,0,1)＝1≠0，∴a，b，c中任意两个都不垂直，即α，β，γ中任意两个都不垂直．三、解答题12．如图，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点．求证：AB1⊥平面A1BD.证明：取BC中点O，B1C1中点O1，以O为原点，OB，OO1，OA的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则B(1,0,0)，D(－1,1,0)，A1(0,2，)，A(0,0，)，B1(1,2,0)，∴AB1＝(1,2，－)，BD＝(－2，1,0)，BA1＝(－1,2，)． AB1·BD＝－2＋2＋0＝0，AB1·BA1＝－1＋4－3＝0，∴AB1⊥BD，AB1⊥BA1.即AB1⊥BD，AB1⊥BA1.又BD∩BA1＝B，∴AB1⊥平面A1BD.13．如图所示，在四棱锥SABCD中，底面ABCD是正方形，AS⊥底面ABCD，且AS＝AB，E是SC的中点．求证：平面BDE⊥平面ABCD.解：设AS＝AB＝1，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则B(1,0,0)，D(0,1,0)，A(0,0,0)，S(0,0,1)，E(，，)．3方法一：连接AC，交BD于点O，连接OE，则点O的坐标为(，...
