高中数学 第1讲 不等式和绝对值不等式 一、不等式 第二课时 基本不等式练习 新人教A版选修4-5-新人教A版高二选修4-5数学试题VIP专享VIP免费

第二课时基本不等式[基础达标]1.下列不等式一定成立的是A.lg＞lgx(x＞0)B.sinx＋≥2(x≠kπ，k∈Z)C.x2＋1≥2|x|(x∈R)D.＞1(x∈R)解析应用基本不等式：x，y∈R＋，≥(当且仅当x＝y时取等号)逐个分析，注意基本不等式的应用条件及取等号的条件.当x＞0时，x2＋≥2·x·＝x，所以lg≥lgx(x＞0)，故选项A不正确；运用基本不等式时需保证一正二定三相等，而当x≠kπ，k∈Z时，sinx的正负不定，故选项B不正确；由基本不等式可知，选项C正确；当x＝0时，有＝1，故选项D不正确.答案C2.下列各式中，最小值等于2的是A.＋B.C.tanθ＋D.2x＋2－x解析 2x>0，2－x>0，∴2x＋2－x≥2＝2，当且仅当2x＝2－x，即x＝0时，等号成立.答案D3.设x，y∈(0，＋∞)，且满足x＋4y＝40，则lgx＋lgy的最大值是A.40B.10C.4D.2解析 x，y∈(0，＋∞)，∴≤(当且仅当x＝4y时，等号成立).∴≤＝10，∴xy≤100.∴lgx＋lgy＝lg(xy)≤lg100＝2(当且仅当x＝4y＝20时，等号成立).答案D4.已知不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为________.解析(x＋y)＝1＋a＋＋≥1＋a＋2，∴1＋a＋2≥9，即a＋2－8≥0，故a≥4.答案45.函数y＝loga(x＋3)－1的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny＋1＝0上，其中mn＞0，求＋的最小值.解析 loga1＝0，∴函数y＝loga(x＋3)－1的图象恒过定点A(－2，－1). 点A在直线mx＋ny＋1＝0上，∴2m＋n＝1. mn＞0，∴m＞0，n＞0.1∴＋＝＋＝2＋＋2＋＝4＋＋≥4＋2＝8.当且仅当4m2＝n2，即n＝2m时，等号成立，此时2m＋2m＝1，∴m＝，n＝.∴＋的最小值为8.[能力提升]1.设a∈R且a≠0，以下四个式子中恒大于1的个数是①a3＋1；②a2－2a＋2；③a＋；④a2＋.A.1B.2C.3D.4答案A2.设x、y为正实数，且xy－(x＋y)＝1，则A.x＋y≥2(＋1)B.x＋y≤2(＋1)C.x＋y≤(＋1)2D.x＋y≥(＋1)2答案A3.若log4(3a＋4b)＝log2，则a＋b的最小值是A.6＋2B.7＋2C.6＋4D.7＋4解析由题意得所以又log4(3a＋4b)＝log2，所以log4(3a＋4b)＝log4(ab)，所以3a＋4b＝ab，故＋＝1.所以a＋b＝(a＋b)＝7＋＋≥7＋2＝7＋4，当且仅当＝时取等号.故选D.答案D4.要制作一个容积为4m3，高为1m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是A.80元B.120元C.160元D.240元解析由题意知，体积V＝4m3，高h＝1m，所以底面积S＝4m2，设底面矩形的一条边长是xm，则另一条边长是m，又设总造价是y元，则y＝20×4＋10×≥80＋20＝160，当且仅当2x＝，即x＝2时取得等号.答案C25.下列结论正确的是A.当x>0且x≠1时，lgx＋≥2B.当x>0时，＋≥2C.当x≥2时，x＋的最大值为2D.当00，∴<0.∴函数的值域为[－3，0).答案[－3，0)8.设x，y∈R，且xy≠0，则的最小值为________.解析 x，y∈R且xy≠0，∴＝5＋＋4x2y2≥5＋2×2＝9，当且仅当＝4x2y2即xy＝±时，取得最小值9.答案99.某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝________吨.解析设一年的总费用为y万元，则y＝×4＋4x＝＋4x≥2＝2×80＝160，3当且仅当＝4x，即x＝20时，y最小.答案2010.设a>0，b>0，且a＋b＝＋，证明：(1)a＋b≥2；(2)a2＋a<2与b2＋b<2不可能同时成立.证明由a＋b＝＋＝，a>0，b>0，得ab＝1.(1)由基本不等式及ab＝1，有a＋b≥2＝2，即a＋b≥2.(2)假设a2＋a<2与b2＋b<2同时成立，则由a2＋a<2及a>0得0