高中数学双曲线的对称问题例析学法指导王文合双曲线上存在两点，关于某条直线对称，求参数的取值范围，这类问题的常见解法是：设P（）、Q（）是双曲线上关于直线对称的两点，则PQ的方程为，代入双曲线方程，得到关于x（或y）的一元二次方程，其中P、Q的坐标即为方程的根，故△>0，从而求得k（或b）的取值范围。例1已知双曲线上存在关于l：的对称点，如图所示，求实数k的取值范围，并求中点M的轨迹。解：当k=0时，显然不成立当k≠0时，由l⊥AB，可设直线AB的方程为，将其代入中，得由题意知，且①设中点M的坐标为（），由韦达定理得M的坐标为。因为l平分AB，故M（）在直线l上，从而有，即。代入①式得，，所以b>0或b<－1。故，解得。将，。即中点M的轨迹为综上所述，当时，双曲线存在一条弦被直线l垂直平分，弦的中点的轨迹方程为。评析：本题解答的关键是合理利用几何条件“垂直”和“平分”，且满足△>0。所以，处理曲线上点关于直线对称的问题时应抓住三点：①对称点的连线与对称轴垂直；②对称点线段的中点在对称轴上；③对称点的连线与曲线相交（△>0）。例2已知直线y=ax+1与双曲线交于A、B两点。（1）求a的取值范围。（2）若以AB为直径的圆过坐标原点，求实数a的值。（3）是否存在这样的实数a，使A、B两点关于直线对称？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由。用心爱心专心解：（1）由得依题意得，故，且（2）设A（）、B（），则因为以AB为直径的圆过原点，所以OA⊥OB∴，即把①②代入上式得，解得，且满足△>0与。（3）假设存在实数a，使A、B两点关于直线对称，则直线与垂直，所以，即l的方程为将代入中，得∴AB中点的横坐标为2，纵坐标而AB中点（2，－3）不满足直线方程，所以假设不成立。评析：双曲线上两点关于直线对称问题主要体现在弦中点在直线上，弦所在直线与已知直线垂直就能建立斜率及中点的关系，或用“设而不求”的思想，即充分运用“垂直平分”特征，巧妙使用“点差法”直接找到斜率及中点的关系，从而减少运算量。用心爱心专心
