高中数学 第八章 立体几何初步 8.6.1 直线与直线垂直课时作业 新人教A版必修第二册-新人教A版高一第二册数学试题VIP专享VIP免费

8.6.1直线与直线垂直一、选择题1．已知a和b是成60°角的两条异面直线，则过空间一点且与a、b都成60°角的直线共有()A．1条B．2条C．3条D．4条解析：把a平移至a′与b相交，其夹角为60°.60°角的补角的平分线c与a、b成60°角．过空间这一点作直线c的平行线即满足条件．又在60°角的“平分面”上还有两条满足条件，故选C.答案：C2．在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为()A.B.C.D.解析：本题主要考查异面直线所成的角．因为CD∥AB，所以∠BAE即为异面直线AE与CD所成的角．设正方体的棱长为2，连接BE，则BE＝.因为AB⊥平面BB1C1C，所以AB⊥BE.在Rt△ABE中，tan∠BAE＝＝.故选C.答案：C3．在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥AB，AA1⊥AC.若AB＝AC＝AA1＝1，BC＝，则异面直线A1C与B1C1所成的角为()A．30°B．45°C．60°D．90°解析：由题意可知BC∥B1C1，故A1C与B1C1所成的角即BC与A1C所成的角，连接A1B，在△A1BC中，BC＝A1C＝A1B＝，故∠A1CB＝60°.则异面直线A1C与B1C1所成的角为60°.答案：C4．如图在正三棱柱ABC－A1B1C1中，若AB＝BB1，则AB1与BC1所成的角的大小是()A．60°B．75°C．90°D．105°解析：设BB1＝1，如题图，延长CC1至点C2，使C1C2＝CC1＝1，连接B1C2，则B1C2∥BC1，所以∠AB1C2为AB1与BC1所成的角(或其补角)．连接AC2，易知AB1＝，B1C2＝，AC2＝，所以AC＝AB＋B1C，则∠AB1C2＝90°.答案：C二、填空题5．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求：(1)直线AB与A1D1所成的角为________；(2)直线AD1与DC1所成的角为________．解析：(1)∵A1B1∥AB，∴∠D1A1B1就是异面直线AB与A1D1所成的角．∵∠D1A1B1＝90°，∴直线AB与A1D1所成的角为90°.(2)如图，连接AB1，B1D1.∵AB1∥DC1，∴直线AB1与AD1所成的角即直线DC1与AD1所成的角．又AD1＝AB1＝B1D1，∴△AB1D1为正三角形，∴直线AD1与AB1所成的角为60°，即直线AD1与DC1所成的角为60°.答案：(1)90°(2)60°6．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为A1A，AB，BB1，B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于________．解析：取A1B1的中点M，连接MG，MH，则MG∥EF，MG与GH所成的角等于EF与GH所成的角．易知△MGH为正三角形，∠MGH＝60°，∴EF与GH所成的角等于60°.答案：60°7．在三棱锥A－BCD中，AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，点M，N分别为AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是________．解析：如图，连接DN，取DN的中点P，连接PM，PC，由M为AD的中点，可知PM∥AN，∠PMC即为异面直线AN，CM所成的角(或其补角)．∵AB＝AC＝3，BC＝2，N为BC的中点，∴AN＝＝2，易得PM＝AN＝.∵CD＝BD＝3，∴DN＝＝2，PN＝DN＝，易得PC＝＝＝.∵AC＝CD＝3，M为AD的中点，∴CM＝＝2.在△PMC中，过点P作PQ⊥MC于点Q，则PM2－MQ2＝PC2－QC2，即()2－MQ2＝()2－(2－MQ)2，解得MQ＝，则cos∠PMC＝＝＝.即异面直线AN，CM所成的角的余弦值为.答案：三、解答题8．如图，已知空间四边形ABCD中，AD＝BC，M，N分别为AB，CD的中点，且直线BC与MN所成的角为30°，求BC与AD所成的角．解析：连接BD，并取其中点E，连接EN，EM，则EN∥BC，ME∥AD，故∠ENM(或其补角)为BC与MN所成的角，∠MEN(或其补角)为BC与AD所成的角．由AD＝BC，知ME＝EN，∴∠EMN＝∠ENM＝30°，∴∠MEN＝180°－30°－30°＝120°，即BC与AD所成的角为60°.9．如图，在空间四边形ABCD中，AD＝BC＝2，E，F分别是AB、CD的中点，若EF＝，求异面直线AD、BC所成角的大小．解析：如图，取BD的中点M，连接EM，FM.因为E、F分别是AB、CD的中点，所以EM綊AD，FM綊BC，则∠EMF或其补角就是异面直线AD、BC所成的角．因为AD＝BC＝2，所以EM＝MF＝1，在等腰△MEF中，过点M，作MH⊥EF于H，在Rt△MHE中，EM＝1，EH＝EF＝，则sin∠EMH＝，于是∠EMH＝60°，则∠EMF＝2∠EMH＝120°.所以异面直线AD、BC所成的角为∠EMF的补角，即直线AD、BC所成的角为60°.[尖子生题库]10．如图，在五面体ABCDEF中，四边形ADEF是正方形，ED⊥CD，CD＝1，AD＝2，求异面直线CE与AF所成的角的余弦值．解析：因为四边形ADEF是正方形，所以FA∥ED.因为ED⊥CD，所以∠CED为锐角，则∠CED为异面直线CE与AF所成的角．在Rt△CDE中，CD＝1，ED＝AD＝2，CE＝＝3，所以cos∠CED＝＝.所以异面直线CE与AF所成的角的余弦值为.