2．2.2双曲线的参数方程►预习梳理1．已知动点M和定点A(5，0)，B(－5，0)．(1)若＝8，则M的轨迹方程是__________________；(2)若|MA|－|MB|＝8，则M的轨迹方程是____________________；(3)若|MB|－|MA|＝8，则M的轨迹方程是____________________．2．双曲线－＝1的参数方程为(φ为参数)．规定φ的范围为φ∈[0，2π)，且φ≠，φ≠.这是中心在________，焦点在________上的双曲线参数方程．►预习思考－＝1的参数方程为________．,预习梳理1．(1)－＝1(2)－＝1(x＜0)(3)－＝1(x＞0)2．原点x轴预习思考(θ为参数)1．双曲线(α为参数)的两焦点坐标是()A．(0，－4)，(0，4)B．(－4，0)，(4，0)C．(0，－)，(0，)D．(－，0)，(，0)1．A2．参数方程(α为参数)的普通方程为()A．y2－x2＝1B．x2－y2＝1C．y2－x2＝1(|x|≤)D．x2－y2＝1(|x|≤)2.C13．与方程xy＝1等价的曲线的参数方程(t为参数)是()A.B.C.D.3.D4．双曲线的顶点坐标为________．4．(－，0)、(，0)5．圆锥曲线(θ为参数)的焦点坐标是________．5．(－4，0)(6，0)6．参数方程(t为参数)表示的曲线是()A．双曲线B．双曲线的下支C．双曲线的上支D．圆6．C7．双曲线(φ为参数)的渐近线方程为________．7．y＝±(x－2)8．已知双曲线方程为x2－y2＝1，M为双曲线上任意一点，点M到两条渐近线的距离分别为d1和d2，求证：d1与d2的乘积是常数．8．证明：设d1为点M到渐近线y＝x的距离，d2为点M到渐近线y＝－x的距离，因为点M在双曲线x2－y2＝1，则可设点M坐标为(secα，tanα)．d1＝，d2＝，d1·d2＝＝，故d1与d2的乘积是常数．9．将参数方程(t为参数，a＞0，b＞0)化为普通方程．9．解析：∵t＋＝，t－＝，又＝t2＋＋2＝，＝t2＋－2＝，∴－＝4＝－，即－＝1.∴普通方程为－＝1(a＞0，b＞0)．10．设方程(1)当t＝1时，θ为参数，此时方程表示什么曲线？把参数方程化为普通方程；2(2)当θ＝时，t为参数，此时方程表示什么曲线？把参数方程化为普通方程．10．解析：(1)当t＝1时，θ为参数，原方程为消去参数θ.∴－(y－2)2＝1，即＋(y－2)2＝1，这是一个焦点在x轴的双曲线．(2)当θ＝时，t为参数，原方程化为消去参数t，得y＝2x＋1－4，这是一条直线．11．已知曲线C的方程为当t是非零常数，θ为参数时，C是什么曲线？当θ为不等于(k∈Z)的常数，t为参数时，C是什么曲线？两曲线有何共同特征？11．分析：研究曲线的参数方程要首先明确哪个量是参变量．解析：当θ为参数时，将原参数方程记为①，将参数方程①化为平方相加消去θ，得＋＝1.②∵(et＋e－t)2＞(et－e－t)2＞0，∴方程②表示的曲线为椭圆．当t为参数时，将方程①化为平方相减，消去t，得－＝1.③∴方程③表示的曲线为双曲线，即C为双曲线．又在方程②中－＝1，则c＝1，椭圆②的焦点为(－1，0)，(1，0)．因此椭圆和双曲线有共同的焦点．12．如右图所示，设M为双曲线－＝1(a>0，b>0)上任意一点，过点M作双曲线两条渐近线的平行线，分别与两条渐近线交于A，B两点，试求平行四边形MAOB的面积．12．解析：双曲线的渐近线方程为y＝±x.不妨设M为双曲线右支上一点，其坐标为(asecφ，btanφ)，则直线MA的方程为y－btanφ＝－(x－asecφ)，将y＝x代入解得点A的横坐标为xA＝(secφ－tanφ)，同理可得点B的横坐标为xB＝(secφ－tanφ))．设∠AOx＝α，则tanα＝，3所以平行四边形MAOB的面积为S▱MAOB＝|OA|·|OB|·sin2α－··sin2α＝·sin2α＝·tanα＝·＝.1．判断双曲线两种参数方程的焦点的位置的方法．如果x对应的参数形式是secφ，则焦点在x轴上．如果y对应的参数形式是secφ，则焦点在y轴上．2．双曲线标准方程与参数方程的互化可由三角变换公式sec2φ－tan2φ＝1得到．由－＝1得－＝1，令＝secφ，由三角公式sec2φ－tan2φ＝1，得＝－1＝sec2φ－1＝tan2φ，取＝tanφ，得双曲线的参数方程为(φ为参数)．3．对于双曲线而言，它的参数方程主要应用价值在于：(1)通过参数(角)简明地表示曲线上任一点的坐标；(2)将解析几何中的计算问题转化为三角问题，从而运用三角性质及变换公式帮助求解最值、参数的取值范围等问题．4
