阶段质量检测(四)(时间：90分钟，总分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．等式12＋22＋32＋…＋n2＝(5n2－7n＋4)()A．n为任何正整数时都成立B．仅当n＝1,2,3时成立C．当n＝4时成立，n＝5时不成立D．仅当n＝4时不成立解析：选B分别用n＝1,2,3,4,5验证即可．2．用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋<2－(n≥2，n∈N＋)时，第一步应验证不等式()A．1＋<2－B．1＋＋<2－C．1＋<2－D．1＋＋<2－解析：选A第一步验证n＝2时不等式成立，即1＋<2－.3．用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(a≠1)，在验证n＝1时，左端计算所得的项为()A．1B．1＋aC．1＋a＋a2D．1＋a＋a2＋a3解析：选C左端为n＋2项和，n＝1时应为三项和，即1＋a＋a2.4．用数学归纳法证明2n>n2(n∈N＋，n≥5)成立时，第二步归纳假设的正确写法是()A．假设n＝k时命题成立B．假设n＝k(k∈N＋)时命题成立C．假设n＝k(k≥5)时命题成立D．假设n＝k(k>5)时命题成立解析：选Ck应满足k≥5，C正确．5．数列{an}中，已知a1＝1，当n≥2时，an－an－1＝2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的表达式是()A．3n－2B．n2C．3n－1D．4n－3解析：选B计算出a1＝1，a2＝4，a3＝9，a4＝16，可猜想an＝n2.6．平面内原有k条直线，它们的交点个数记为f(k)，则增加一条直线l后，它们的交点个数最多为()A．f(k)＋1B．f(k)＋kC．f(k)＋k＋1D．k·f(k)解析：选B第k＋1条直线与前k条直线都相交且有不同交点时，交点个数最多，此时应比原先增加k个交点．7．用数学归纳法证明34n＋1＋52n＋1(n∈N＋)能被8整除时，若n＝k时，命题成立，欲证当n＝k＋1时命题成立，对于34(k＋1)＋1＋52(k＋1)＋1可变形为()A．56×34k＋1＋25(34k＋1＋52k＋1)B．34×34k＋1＋52×52kC．34k＋1＋52k＋1D．25(34k＋1＋52k＋1)1解析：选A由34(k＋1)＋1＋52(k＋1)＋1＝81×34k＋1＋25×52k＋1＋25×34k＋1－25×34k＋1＝56×34k＋1＋25(34k＋1＋52k＋1)．8．已知f(n)＝12＋22＋32＋…＋(2n)2，则f(k＋1)与f(k)的关系是()A．f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2B．f(k＋1)＝f(k)＋(k＋1)2C．f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋2)2D．f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2解析：选Af(k＋1)＝12＋22＋32＋…＋(2k)2＋(2k＋1)2＋[2(k＋1)]2＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2，故选A.9．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，第二步归纳假设应该写成()A．假设当n＝k(k∈N＋)时，xk＋yk能被x＋y整除B．假设当n＝2k(k∈N＋)时，xk＋yk能被x＋y整除C．假设当n＝2k＋1(k∈N＋)时，xk＋yk能被x＋y整除D．假设当n＝2k－1(k∈N＋)时，xk＋yk能被x＋y整除解析：选D第k个奇数应是n＝2k－1，k∈N＋.10．已知f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)≥k2成立时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”，那么，下列命题总成立的是()A．若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k2成立B．若f(4)≥16成立，则当k≥4时，均有f(k)16＝42成立．∴当k≥4时，有f(k)≥k2成立．二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在题中的横线上)11．用数学归纳法证明1＋2＋3＋4＋…＋n2＝(n∈N＋)，则n＝k＋1时，左端应为在n＝k时的基础上加上____________________．解析：n＝k＋1时，左端＝1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋…＋(k＋1)2.所以增加了(k2＋1)＋…＋(k＋1)2.答案：(k2＋1)＋…＋(k＋1)212．设f(n)＝…，用数学归纳法证明f(n)≥3，在假设n＝k时成立后，f(k＋1)与f(k)的关系是f(k＋1)＝f(k)·________________.解析： f(k)＝·…·，f(k＋1)＝·…···∴f(k＋1)＝f(k)·.答案：13．设数列{an}满足a1＝2，an＋1＝2an＋2，用数学归纳法证明an＝4·2n－1－2的第二步中，设n＝k时结论成立，即ak＝4·2k－1－2，那么当n＝k＋1时，应证明等式________成立．答案：ak＋1＝4·2(k＋1)－1－214．在数列{an}中，a1＝1，且Sn，Sn＋1,2S1成等差数列，则S2...
