高考数学一轮总复习 第6章 数列 第3节 等比数列及其前n项和高考AB卷 理-人教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

【大高考】2017版高考数学一轮总复习第6章数列第3节等比数列及其前n项和高考AB卷理等比数列中的运算问题1.(2015·全国Ⅱ，4)已知等比数列{an}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7＝()A.21B.42C.63D.84解析设等比数列{an}的公比为q，则由a1＝3，a1＋a3＋a5＝21得3(1＋q2＋q4)＝21，解得q2＝－3(舍去)或q2＝2，于是a3＋a5＋a7＝q2(a1＋a3＋a5)＝2×21＝42，故选B.答案B2.(2016·全国Ⅲ，17)已知数列{an}的前n项和Sn＝1＋λan，其中λ≠0.(1)证明{an}是等比数列，并求其通项公式；(2)若S5＝，求λ.(1)证明由题意得a1＝S1＝1＋λa1，故λ≠1，a1＝，a1≠0.由Sn＝1＋λan，Sn＋1＝1＋λan＋1，得an＋1＝λan＋1－λan，即an＋1(λ－1)＝λan，由a1≠0，λ≠0得an≠0，所以＝.因此{an}是首项为，公比为的等比数列，于是an＝.(2)解由(1)得Sn＝1－.由S5＝得1－＝，即＝.解得λ＝－1.3.(2014·全国Ⅱ，17)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋1.(1)证明是等比数列，并求{an}的通项公式；(2)证明＋＋…＋<.证明(1)由an＋1＝3an＋1得an＋1＋＝3又a1＋＝，所以是首项为，公比为3的等比数列.an＋＝，因此{an}的通项公式为an＝.(2)由(1)知＝.因为当n≥1时，3n－1≥2×3n－1，所以≤.于是＋＋…＋≤1＋＋…＋＝<.所以＋＋…＋<.等比数列的性质4.(2016·全国Ⅰ，15)设等比数列满足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，则a1a2…an的最大值为__________.解析设等比数列{an}的公比为q，∴⇒解得∴a1a2…an＝＝＝，当n＝3或4时，取到最小值－6，此时取到最大值26，所以a1a2…an的最大值为64.答案645.(2014·大纲全国，10)等比数列{an}中，a4＝2，a5＝5，则数列{lgan}的前8项和等于()A.6B.5C.4D.3解析lga1＋lga2＋…＋lga8＝lg(a1·a2·…·a8)＝lg(a4·a5)4＝lg(2×5)4＝4，故选C.答案C等比数列中的运算问题1.(2014·重庆，2)对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是()A.a1，a3，a9成等比数列B.a2，a3，a6成等比数列C.a2，a4，a8成等比数列D.a3，a6，a9成等比数列解析由等比数列的性质得，a3·a9＝a≠0，因此a3，a6，a9一定成等比数列，选D.答案D2.(2015·安徽，14)已知数列{an}是递增的等比数列，a1＋a4＝9，a2a3＝8，则数列{an}的前n项和等于________.解析由等比数列性质知a2a3＝a1a4，又a2a3＝8，a1＋a4＝9，所以联立方程解得或又数列{an}为递增数列，∴a1＝1，a4＝8，从而a1q3＝8，∴q＝2.∴数列{an}的前n项和为Sn＝＝2n－1.答案2n－13.(2014·江苏，7)在各项均为正数的等比数列{an}中，若a2＝1，a8＝a6＋2a4，则a6的值是________.解析设等比数列{an}的公比为q，q>0.则a8＝a6＋2a4即为a4q4＝a4q2＋2a4，解得q2＝2(负值舍去)，又a2＝1，所以a6＝a2q4＝4.答案44.(2012·浙江，13)设公比为q(q>0)的等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2，则q＝________.解析由S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2作差可得a3＋a4＝3a4－3a2，即2a4－a3－3a2＝0，所以2q2－q－3＝0，解得q＝或q＝－1(舍).答案5.(2013·陕西，17)设{an}是公比为q的等比数列.(1)推导{an}的前n项和公式；(2)设q≠1，证明数列{an＋1}不是等比数列.(1)解设{an}的前n项和为Sn，当q＝1时，Sn＝a1＋a1＋…＋a1＝na1；当q≠1时，Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1，①qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn，②①－②得，(1－q)Sn＝a1－a1qn，∴Sn＝，∴Sn＝(2)证明假设{an＋1}是等比数列，则对任意的k∈N＋，(ak＋1＋1)2＝(ak＋1)(ak＋2＋1)，a＋2ak＋1＋1＝akak＋2＋ak＋ak＋2＋1，aq2k＋2a1qk＝a1qk－1·a1qk＋1＋a1qk－1＋a1qk＋1， a1≠0，∴2qk＝qk－1＋qk＋1. q≠0，∴q2－2q＋1＝0，∴q＝1，这与已知矛盾，∴数列{an＋1}不是等比数列.等比数列的性质6.(2014·广东，13)若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11＋a9a12＝2e5，则lna1＋lna2＋…＋lna20＝________.解析由等比数列的性质可知a10a11＋a9a12＝2e5⇒a1a20＝e5，于是a1a2…a20＝(e5)10＝e50，lna1＋lna2＋…＋lna20＝ln(a1a2…a20)＝lne50＝50.答案507.(2015·湖南，14)设Sn为等比数列{an}的前n项和，若a1＝1，且3S1，2S2，S3成等差数列，则an＝________.解析由3S1，2S2，S3成等差数列知，4S2＝3S...