第4讲解三角形1.(2018江苏五校学情检测)设向量a=(2,-6),b=(-1,m),若a∥b,则实数m的值为.2.在△ABC中,AB=❑√3,AC=2,∠A=30°,则△ABC的面积为.3.(2018江苏盐城期中)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=2,b=❑√3,B=π3,则A=.4.(2018江苏南京多校段考)已知角θ的顶点与原点重合,始边与x轴的正半轴重合,终边过点(1,2),则tan2θ=.5.(2018江苏泰州中学月考)将y=sin2x的图象向右平移φ个单位长度(φ>0),使得平移后的图象仍过点(π3,❑√32),则φ的最小值为.6.(2018南京学情调研)若函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示,则f(-π)的值为.7.(2018高考数学模拟)如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=4,AD=3,CD=2,⃗AM=2⃗MD,如果⃗AC·⃗BM=-3,则⃗AB·⃗AD=.8.(2018江苏南通调研)在平面四边形ABCD中,已知AB=1,BC=4,CD=2,DA=3,则⃗AC·⃗BD的值为.9.已知函数f(x)=2cosx(sinx+cosx),x∈R.(1)求函数f(x)的单调递增区间;(2)求函数f(x)在区间[0,π2]上的最大值和最小值.10.(2018常州学业监测)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知asinB+❑√3bcosA=❑√3sinC.(1)求角B的大小;(2)若△ABC的面积为7❑√34,b=❑√43,a>c,求a,c.答案精解精析1.答案3解析由题意得2m-6=0,则m=3.2.答案❑√32解析S=12AB·ACsinA=12×❑√3×2×12=❑√32.3.答案π2解析在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=2,b=❑√3,B=π3,由正弦定理得asinA=bsinB,即2sinA=❑√3❑√32,解得sinA=1.因为A为三角形的内角,所以A=π2.4.答案-43解析由题意可得tanθ=2,则tan2θ=2tanθ1-tan2θ=-43.5.答案π6解析将y=sin2x的图象向右平移φ个单位长度(φ>0),得到y=sin(2x-2φ)的图象,所得图象仍过点(π3,❑√32),则sin(2π3-2φ)=❑√32,则φ的最小值为π6.6.答案-1解析由图象可得A=2,14T=3π4,则最小正周期T=3π=2πω,即ω=23.又f(π)=2sin(2π3+φ)=2,|φ|<π,则φ=-π6,f(x)=2sin(23x-π6),则f(-π)=2sin(-23π-π6)=-1.7.答案32解析在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=4,AD=3,CD=2,⃗AM=2⃗MD,则⃗AC=⃗AD+⃗DC=⃗AD+12⃗AB,⃗BM=⃗AM-⃗AB=23⃗AD-⃗AB,则⃗AC·⃗BM=(⃗AD+12⃗AB)·(23⃗AD-⃗AB)=-3,即23⃗AD2-23⃗AB·⃗AD-12⃗AB2=-3,23×9-23⃗AB·⃗AD-12×16=-3,解得⃗AB·⃗AD=32.8.答案10解析取BD的中点E,连接EA、EC,则⃗AC·⃗BD=(⃗AE+⃗EC)·⃗BD=⃗AE·⃗BD+⃗EC·⃗BD=12(⃗AB+⃗AD)·(⃗AD-⃗AB)+12(⃗CB+⃗CD)·(⃗CB-⃗CD)=12(⃗AD2-⃗AB2)+12(⃗CB2-⃗CD2)=4+6=10.9.解析(1)f(x)=2cosx(sinx+cosx)=2sinxcosx+2cos2x=sin2x+cos2x+1=❑√2sin(2x+π4)+1.由2kπ-π2≤2x+π4≤2kπ+π2,得kπ-3π8≤x≤kπ+π8(k∈Z),所以函数f(x)的单调递增区间为[kπ-3π8,kπ+π8](k∈Z).(2)当0≤x≤π2时,π4≤2x+π4≤5π4,所以当2x+π4=π2,即x=π8时,函数f(x)取得最大值❑√2+1;当2x+π4=5π4,即x=π2时,函数f(x)取得最小值0.10.解析(1)由已知asinB+❑√3bcosA=❑√3sinC,结合正弦定理得sinAsinB+❑√3sinBcosA=❑√3sinC,所以sinAsinB+❑√3sinBcosA=❑√3sin(A+B)=❑√3(sinAcosB+sinBcosA),即sinAsinB=❑√3sinAcosB.又A∈(0,π),所以sinA≠0,所以tanB=❑√3.又B∈(0,π),所以B=π3.(2)由S△ABC=12acsinB,B=π3,得❑√34ac=7❑√34,即ac=7.由b2=(a+c)2-2ac-2accosB,得(❑√43)2=(a+c)2-2ac-ac,所以a+c=8.又a>c,所以a=7,c=1.
