一、与长度有关的几何概型培优点十九几何概型例1：某公司的班车在，，发车，小明在至之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过分钟的概率是______．【答案】【解析】如图所示，画出时间轴．小明到达的时间会随机的落在图中线段中，而当他的到达时间落在线段或上时，才能保证他等车的时间不超过分钟，根据几何概型的概率计算公式可得所求概率为．例2：在区间上随机地取一个数，则事件“”发生的概率为________．【答案】【解析】由，得，得．由几何概型的概率计算公式可得所求概率为．二、与面积有关的几何概型例3：在如图所示的扇形中，，半圆切于点，与圆弧切于点，若随机向扇形内投一点，则该点落在半圆外的概率为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】连接，则，因为，所以，设半圆的半径为，则扇形的半径为，半圆的面积，扇形的面积为，则所求概率，故选A．例4：圆内有一内接正三角形，向圆内随机投一点，则该点落在正三角形内的概率为（）A．B．C．D．三、与体积有关的几何概型的求法【答案】C【解析】由题可得，设正三角形的边长为，则其面积为，其外接球的直径为，所以其半径为，所以面积为，由几何概型的概率计算公式可知所求概率为，故选C．例5：在棱长为的正方体中，点为底面的中心，在正方体内随机取一点，则点到点的距离大于的概率为________．【答案】【解析】记“点到点的距离大于”为，．例6：如图，在一个棱长为的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的底面圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是________．四、与角度有关的几何概型的求法【答案】【解析】鱼缸底面正方形的面积为，圆锥底面圆的面积为．所以“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是．例7：如图，在矩形中，，，以为圆心、为半径作圆弧，点在线段上，在圆弧上任取一点，则直线与线段有公共点的概率是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】连接交圆弧于点，在中，，，所以，即，要使直线与线段有公共点，则点必须在圆弧上，对点增分集训于是所求的概率为．故选B．例8：在中，，过直角顶点作射线交线段于点，则的概率为________．【答案】【解析】设事件为“作射线，使”．在上取点，使，因为是等腰三角形，所以，事件发生的区域，构成事件总的区域，所以．一、选择题1．在区间上随机取一个数，则事件“”发生的概率为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】当时，由，得或，因此所求概率为．故选C．2．在长为的线段上任取一点，并以线段为边作正方形，则这个正方形的面积介于与之间的概率为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为以线段为边的正方形的面积介于与之间，所以线段的长度介于与之间，满足条件的点对应的线段长，而线段总长为，故正方形的面积介于与之间的概率为，故选B．3．安徽黄山景区，每半小时会有一趟缆车从山上发车到山下，某人下午在山上，准备乘坐缆车下山，则他等待时间不多于分钟的概率为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】此人在分到分或分到分之间的分钟内到达，等待时间不多于分钟，所以他等待时间不多于分钟的概率为．故选B．4．在直角坐标系中，任取个满足的点，其中满足的点有个，则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】画出可行域，如图所示，四边形的面积为，其中圆的面积为．由几何概型的概率计算公式可得，则，故选D．5．三棱锥的侧棱两两垂直，为侧棱的中点，，分别为棱，上一点，平面，，若从三棱锥内部随机选取一点，则此点取自三棱锥内部的概率为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为平面，平面，平面平面，所以，所以，即所求概率为．故选C．6．甲乙两艘轮船都要在某个泊位停靠小时，假定他们在一昼夜的时间段中随机地到达，试求这两艘船中至少有一艘在停泊位时必须等待的概率（）A．B．C．D．【答案】D【解析】设甲船到达的时间为，乙船到达的时间为，则所有基本事件构成的区域满足，这两艘船中至少有一艘在停泊位时必须等待包含的基本事件构成的区域，满足，作出对应的平...
