课时作业2导数的概念知识点一瞬时速度1.一质点运动的方程为s(t)＝5－3t2(位移单位：m，时间单位：s)，若该质点在t＝1到t＝1＋Δt这段时间内的平均速度为－3Δt－6，则该质点在t＝1时的瞬时速度是()A．－3m/sB．3m/sC．6m/sD．－6m/s答案D解析当Δt趋近于0时，－3Δt－6趋近于－6，即t＝1时该质点的瞬时速度为－6m/s.2．如果一个函数的瞬时变化率处处为0，则这个函数的图象是()A．圆B．抛物线C．椭圆D．直线答案D解析当f(x)＝b时，瞬时变化率lim＝lim＝0，所以f(x)的图象为一条直线．3．物体的运动方程是s＝－4t2＋16t，在某一时刻的速度为零，则相应时刻为()A．t＝1B．t＝2C．t＝3D．t＝4答案B解析设物体在t时刻的速度为零，则lim＝0，＝＝＝－8t－4Δt＋16，∴lim＝－8t＋16＝0，∴t＝2.知识点二导数的定义4.函数f(x)在x0处可导，则lim()A．与x0、h都有关B．仅与x0有关，而与h无关C．仅与h有关，而与x0无关D．与x0、h均无关答案B解析由导数的概念可知，lim＝f′(x0)，仅与x0有关，与h无关，故选B.5．若f′(x0)＝1，则lim＝()A.B．－C．1D．－1答案B解析f′(x0)＝lim＝1，∴lim＝－1，∴lim＝×(－1)＝－.6．一物体的运动方程为s＝7t2＋8，则其在t＝________时的瞬时速度为1.答案解析＝＝7Δt＋14t0，当lim(7Δt＋14t0)＝1时，t＝t0＝.知识点三导数的实际意义7.一条水管中流过的水量y(单位：m3)是时间t(单位：s)的函数y＝f(t)＝3t.求函数y＝f(t)在t＝2处的导数f′(2)，并解释它的实际意义．解根据导数的定义，得＝＝＝3，所以，f′(2)＝lim＝3.f′(2)的意义是：水流在2s时的瞬时流速为3m3/s，即如果保持这一速度，每经过1s，水管中流过的水量为3m3.1一、选择题1．一物体的运动方程是s＝at2(a为常数)，则该物体在t＝t0时的瞬时速度是()A．at0B．－at0C.at0D．2at0答案A解析∵＝＝aΔt＋at0，∴lim＝at0.2．若可导函数f(x)的图象过原点，且满足lim＝－1，则f′(0)＝()A．－2B．－1C．1D．2答案B解析∵f(x)图象过原点，∴f(0)＝0，∴f′(0)＝lim＝lim＝－1，∴选B.3．已知f(x)＝，且f′(m)＝－，则m的值等于()A．－4B．2C．－2D．±2答案D解析f′(x)＝lim＝－，于是有－＝－，m2＝4，解得m＝±2.4．设函数f(x)在点x0处附近有定义，且f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，则()A．f′(x0)＝－aB．f′(x0)＝－bC．f′(x0)＝aD．f′(x0)＝b答案C解析∵f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2，∴＝a＋b·Δx.∴lim＝lim(a＋b·Δx)＝a.∴f′(x0)＝a.故选C.5．已知奇函数f(x)满足f′(－1)＝1，则lim等于()A．1B．－1C．2D．－2答案A解析由f(x)为奇函数，得f(1)＝－f(－1)，所以lim＝lim＝f′(－1)＝1.二、填空题6．已知自由落体的运动方程为s(t)＝5t2，则t在2到2＋Δt这一段时间内落体的平均速度为______，落体在t＝2时的瞬时速度为________．答案20＋5Δt20解析由题物体在t＝2到t＝2＋Δt这一段时间内的平均速度为＝＝20＋5Δt，则当Δt→0时→20，即t＝2时的瞬时速度为20.7．设函数y＝f(x)＝ax3＋2，若f′(－1)＝3，则a＝________.答案1解析Δy＝f(－1＋Δx)－f(－1)＝a(－1＋Δx)3＋2－a(－1)3－2＝a(Δx)3－3a(Δx)2＋3aΔx.∴＝＝a(Δx)2－3aΔx＋3a.当Δx无限趋近于0时，a(Δx)2－3aΔx＋3a无限趋近于3a.2∴f′(－1)＝3a＝3，∴a＝1.8．已知y＝，则y′|x＝1＝________.答案解析由题意知Δy＝－＝－，所以＝.所以y′|x＝1＝lim＝lim＝lim＝lim＝.三、解答题9．已知函数f(x)＝求f′(1)·f′(－1)的值．解当x＝1时，＝＝＝.由导数的定义，得f′(1)＝lim＝.当x＝－1时，＝＝＝Δx－2.由导数的定义，得f′(－1)＝lim(Δx－2)＝－2.所以f′(1)·f′(－1)＝×(－2)＝－1.10．枪弹在枪筒中运动可以看作匀加速运动，如果它的加速度是5.0×105m/s2，枪弹从枪口射出时所用时间为1.6×10－3s，求枪弹射出枪口时的瞬时速度．解位移公式为s＝at2，∵Δs＝a(t0＋Δt)2－at＝at0Δt＋a(Δt)2，∴＝at0＋aΔt，∴lim＝lim＝at0，已知a＝5.0×105m/s2，t0＝1.6×10－3s，∴at0＝800m/s.所以枪弹射出枪口时的瞬时速度为800m/s.3
