§2.3等差数列的前n项和(一)课时目标1．掌握等差数列前n项和公式及其性质．2．掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn之间的关系．1．把a1＋a2＋…＋an叫数列{an}的前n项和，记做Sn.例如a1＋a2＋…＋a16可以记作S16；a1＋a2＋a3＋…＋an－1＝Sn－1(n≥2)．2．若{an}是等差数列，则Sn可以用首项a1和末项an表示为Sn＝；若首项为a1，公差为d，则Sn可以表示为Sn＝na1＋n(n－1)d.3．等差数列前n项和的性质(1)若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列也是等差数列，且公差为.(2)Sm，S2m，S3m分别为{an}的前m项，前2m项，前3m项的和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等差数列．(3)设两个等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn、Tn，则＝.一、选择题1．设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a2＝3，a6＝11，则S7等于()A．13B．35C．49D．63答案C解析S7＝＝＝49.2．等差数列{an}中，S10＝4S5，则等于()A.B．2C.D．4答案A解析由题意得：10a1＋×10×9d＝4(5a1＋×5×4d)，∴10a1＋45d＝20a1＋40d，∴10a1＝5d，∴＝.3．已知等差数列{an}中，a＋a＋2a3a8＝9，且an<0，则S10为()A．－9B．－11C．－13D．－15答案D解析由a＋a＋2a3a8＝9得(a3＋a8)2＝9，∵an<0，∴a3＋a8＝－3，∴S10＝＝＝＝－15.4．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36.则a7＋a8＋a9等于()A．63B．45C．36D．27答案B解析数列{an}为等差数列，则S3，S6－S3，S9－S6为等差数列，即2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6)，∵S3＝9，S6－S3＝27，则S9－S6＝45.∴a7＋a8＋a9＝S9－S6＝45.5．在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为()A．765B．665C．763D．663答案B解析∵a1＝2，d＝7,2＋(n－1)×7<100，∴n<15，∴n＝14，S14＝14×2＋×14×13×7＝665.6．一个等差数列的项数为2n，若a1＋a3＋…＋a2n－1＝90，a2＋a4＋…＋a2n＝72，且a1－a2n＝33，则该数列的公差是()A．3B．－3C．－2D．－1答案B解析由得nd＝－18.又a1－a2n＝－(2n－1)d＝33，所以d＝－3.二、填空题7．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若S3＝3，S6＝24，则a9＝________.答案15解析设等差数列的公差为d，则S3＝3a1＋d＝3a1＋3d＝3，1即a1＋d＝1，S6＝6a1＋d＝6a1＋15d＝24，即2a1＋5d＝8.由解得故a9＝a1＋8d＝－1＋8×2＝15.8．两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，已知＝，则的值是________．答案解析＝＝＝.9．在项数为2n＋1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n的值为________．答案10解析S奇＝＝165，S偶＝＝150.∵a1＋a2n＋1＝a2＋a2n，∴＝＝，∴n＝10.10．等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则数列{an}的前3m项的和S3m的值是________．答案210解析方法一在等差数列中，Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列．∴30,70，S3m－100成等差数列．∴2×70＝30＋(S3m－100)，∴S3m＝210.方法二在等差数列中，，，成等差数列，∴＝＋.即S3m＝3(S2m－Sm)＝3×(100－30)＝210.三、解答题11．在等差数列{an}中，已知d＝2，an＝11，Sn＝35，求a1和n.解由得解方程组得或12．设{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知S7＝7，S15＝75，Tn为数列的前n项和，求Tn.解设等差数列{an}的公差为d，则Sn＝na1＋n(n－1)d，∵S7＝7，S15＝75，∴，即，解得，∴＝a1＋(n－1)d＝－2＋(n－1)，∵－＝，∴数列是等差数列，其首项为－2，公差为，∴Tn＝n×(－2)＋×＝n2－n.能力提升13．现有200根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为()A．9B．10C．19D．29答案B解析钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列，最上面一层钢管数为1，逐层增加1个．∴钢管总数为：1＋2＋3＋…＋n＝.当n＝19时，S19＝190.当n＝20时，S20＝210>200.∴n＝19时，剩余钢管根数最少，为10根．14．已知两个等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为An和Bn，且＝，则使得为整数的正整数n的个数是()A．2B．3C．4D．5答案D解析＝＝＝＝＝7＋，∴n＝1,2,3,5,11.1．等差数列的两个求和公式中，一共涉及a1，an，Sn，n，d五个量，通常已知其中三个量，可求另外两个量．在求等差数列的和时，一般地，若已知首项a1及末项an，用公式Sn＝较好，若已知首项a1及公差d，用公式Sn＝na1＋d较好．2．等差数列的性质比较多，学习时，不必死记硬背，可以在结合推导过程中加强记忆，并在解题中熟练灵活地应用．23
