第三章空间向量与立体几何(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本题共10小题，每小题6分，共60分)1．已知a＝(λ＋1,1,1)，b＝(2，2μ－1，λ)，若a⊥b，则λ与μ的值可以是()A．2，B．－1,1C．－1,2D．1,2解析：选A由题意知：2(λ＋1)＋2μ－1＋λ＝0，即3λ＋2μ＋1＝0，令λ＝－1，有μ＝1，故选B.2．直线l的方向向量为a，平面α内两共点向量OA，OB，下列关系中能表示l∥α的是()A．a＝OAB．a＝kOBC．a＝pOA＋λOBD．以上均不能解析：选D对a＝OA，a＝kOB以及a＝pOA＋λOB均可能有l⊂α，故都不能表示l∥α.3．已知a＝(1,1,1)，b＝(0,2，－1)，c＝ma＋nb＋(4，－4，1)．若c与a及b都垂直，则m，n的值分别为()A．－1,2B．1，－2C．1,2D．－1，－2解析：选A由已知得c＝(m＋4，m＋2n－4，m－n＋1)，故a·c＝3m＋n＋1＝0，b·c＝m＋5n－9＝0.解得4．已知点B是点A(3,7，－4)在xOz平面上的射影，则OB2等于()A．(9,0,16)B．25C．5D．13解析：选BA在xOz平面上的射影为B(3,0，－4)，则OB＝(3,0，－4)，OB2＝25.5．已知a＝(λ＋1,0,2)，b＝(6,2μ－1,2λ)，若a∥b，则λ与μ的值可以是()A．2，B．－，C．－3,2D．2,2解析：选A由题意知∴或6．已知a＝(2,4,5)，b＝(3，x，y)分别是直线l1，l2的方向向量，若l1∥l2，则()A．x＝6，y＝15B．x＝3，y＝C．x＝3，y＝15D．x＝6，y＝解析：选D由l1∥l2得，＝＝，解得x＝6，y＝.7．已知向量m、n分别是直线l和平面α的方向向量、法向量，若cos〈m，n〉＝－，则l与α所成的角为()A．30°B．60°C．120°D．150°解析：选A设l与α所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈m，n〉|＝，∴θ＝30°.8．已知直线l过定点A(2,3,1)，且n＝(0,1,1)为直线l的一个方向向量，则点P(4,3,2)到直线l的距离为()1(B卷能力素养提升)A.B.C.D.解析：选APA＝(－2,0，－1)，|PA|＝，PA―→·＝－，则点P到直线l的距离为＝＝.9．正方体ABCDA1B1C1D1中，O为侧面BCC1B1的中心，则AO与平面ABCD所成角的正弦值为()A.B.C.D.解析：选C以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．令AB＝2，则A(2，0,0)，O(1,2,1)，所以AO＝(－1,2,1)．又DD1＝(0,0,2)为平面ABCD的法向量，设AO与平面ABCD所成角为α，则sinα＝|cos〈AO，DD1〉|＝＝＝.10.如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E，F分别是棱BC，DD1上的点，如果B1E⊥平面ABF，则CE与DF的和为()A．1B.C.D．2解析：选A以D1A1，D1C1，D1D分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设CE＝x，DF＝y，则易知E(x,1,1)，B1(1,1,0)，∴B1E＝(x－1,0,1)．又F(0,0,1－y)，B(1,1,1)，∴FB＝(1,1，y)．由于AB⊥B1E，故若B1E⊥平面ABF，只需FB·B1E＝(1,1，y)·(x－1,0,1)＝0⇒x＋y＝1.二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)11．若向量a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1,2)且a与b的夹角的余弦值为，则λ＝________.解析：由已知得＝＝，∴8＝3(6－λ)，解得λ＝－2或λ＝.答案：－2或12.如图，已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝a，PA⊥平面ABCD，若在BC上只有一个点Q满足PQ⊥QD，则a的值等于________．解析：如图，建立空间直角坐标系Axyz，则D(0，a,0)．设Q(1，t,0)(0≤t≤a)．P(0,0，z)．则PQ＝(1，t，－z)，QD＝(－1，a－t,0)．由PQ⊥QD，得－1＋t(a－t)＝0，即t2－at＋1＝0.由题意知方程t2－at＋1＝0只一解．∴Δ＝a2－4＝0，a＝2，这时t＝1∈[0，a]．答案：2213．已知空间三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)，设a＝AB，b＝AC，则cos〈a，b〉＝________.解析：a＝AB＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，∴cos〈a，b〉＝＝＝－.答案：－14．正方体ABCDA1B1C1D1中，直线BC1与平面A1BD所成的角的正弦值是________．解析：如图，以DA，DC，DD1分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则A(1，0,0)，B(1,1,0)，C1(0,1,1)，易证AC1是平面A1BD的一个法向量．AC1＝(－1,1,1)，BC1＝(－1,0,1)．cos〈AC1，BC1〉＝＝.所以BC1与平面A1BD所成角的正弦值为.答案：三、解答题(本题共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分10分)如图，已知M，N分别为四面体ABCD的面BCD与面ACD的重心，G为AM上一点，且...
