高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.3 双曲线 2.3.2 双曲线的几何性质应用案巩固提升 新人教B版选修2-1-新人教B版高二选修2-1数学试题VIP免费

2.3.2双曲线的几何性质[A基础达标]1．双曲线y2－＝－1的虚轴长是()A．2B．2C．4D．4解析：选A．双曲线y2－＝－1化成标准方程为－y2＝1，所以b＝1，2b＝2，即虚轴长为2.2．中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为()A．B．C．D．解析：选D．由题意知，过点(4，－2)的渐近线的方程为y＝－x，所以－2＝－·4，所以a＝2b.法一：设b＝k，则a＝2k，c＝k，所以e＝＝＝.法二：e2＝＋1＝＋1＝，故e＝.3．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的焦距为2，且双曲线的一条渐近线与直线2x＋y＝0垂直，则双曲线的方程为()A．－y2＝1B．x2－＝1C．－＝1D．－＝1解析：选A．由题意得c＝，＝，则a＝2，b＝1，所以双曲线的方程为－y2＝1.4．若一双曲线与椭圆4x2＋y2＝64有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程为()A．y2－3x2＝36B．x2－3y2＝36C．3y2－x2＝36D．3x2－y2＝36解析：选A．椭圆4x2＋y2＝64即＋＝1，焦点为(0，±4)，离心率为，则双曲线的焦点在y轴上，c＝4，e＝，从而a＝6，b2＝12，故所求双曲线的方程为y2－3x2＝36.5．如图，双曲线C：－＝1的左焦点为F1，双曲线上的点P1与P2关于y轴对称，则|P2F1|－|P1F1|的值是()A．3B．4C．6D．8解析：选C．设F2为右焦点，连接P2F2，由双曲线的对称性，知|P1F1|＝|P2F2|，所以|P2F1|－|P1F1|＝|P2F1|－|P2F2|＝2×3＝6.6．中心在原点，实轴在x轴上，一个焦点为直线3x－4y＋12＝0与坐标轴的交点的等轴双曲线方程是________．解析：由双曲线的实轴在x轴上知其焦点在x轴上，直线3x－4y＋12＝0与x轴的交点坐标为(－4，0)，故双曲线的一个焦点为(－4，0)，即c＝4.设等轴双曲线方程为x2－y2＝a2，则c2＝2a2＝16，解得a2＝8，所以双曲线方程为x2－y2＝8.答案：－＝117．设F1和F2为双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，若F1，F2，P(0，2b)是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为________．解析：由题设条件可得，＝，所以＝，所以＝，所以＝4，所以e＝2.答案：28．已知F1，F2是双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的左，右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1＝，则E的离心率为________．解析：设F1(－c，0)，将x＝－c代入双曲线方程，得－＝1，所以＝－1＝，所以y＝±.因为sin∠MF2F1＝，所以tan∠MF2F1＝＝＝＝＝－＝－＝，所以e2－e－1＝0，所以e＝(负值舍去)．答案：9．双曲线的离心率等于2，且与椭圆＋＝1有相同的顶点，求此双曲线的标准方程．解：因为椭圆＋＝1的顶点为(－5，0)，(5，0)，(0，－3)，(0，3)，当顶点为(－5，0)，(5，0)时，焦点在x轴上，且a＝5.又＝＝2，所以c＝10，从而b2＝75，所以标准方程为－＝1.当顶点为(0，－3)，(0，3)时，焦点在y轴上，且a＝3.又e＝＝＝2，所以c＝6，所以b2＝c2－a2＝36－9＝27，所以标准方程为－＝1.综上可知，双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.10．过双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P.若点P的横坐标为2a，求双曲线C的离心率．解：如图所示，不妨设与渐近线平行的直线l的斜率为，又直线l过右焦点F(c，0)，则直线l的方程为y＝(x－c)．因为点P的横坐标为2a，代入双曲线方程得－＝1，化简得y＝－b或y＝b(点P在x轴下方，故舍去)，故点P的坐标为(2a，－b)，代入直线方程得－b＝(2a－c)，化简可得离心率e＝＝2＋.[B能力提升]11．已知双曲线－＝1(b>0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为()A．－＝1B．－＝1C．－＝1D．－＝1解析：选D．根据圆和双曲线的对称性，可知四边形ABCD为矩形．双曲线的渐近线方程为y＝±x，圆的方程为x2＋y2＝4，不妨设交点A在第一象限，由y＝x，x2＋y2＝4，得xA＝，yA＝，故四边形ABCD的面积为4xAyA＝＝2b，解得b2＝12，故所求的双曲线方程为－＝1，故选D．12．已知M(x0，y0)是双曲线C：－y2＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点．若MF1·MF2<0，则y0的取值范围是()2A．B．C．D．解析：选A．由题意知a2＝2，b2＝1，所以c2＝3，不妨设F1(－，0)，F2(，0)，所以MF1＝(－－x0，－y0)，MF2＝(－x0，－y0)，所以MF1·MF2...