考点规范练21三角恒等变换考点规范练A册第16页基础巩固组1.函数y=(sinx+cosx)(sinx-cosx)是()A.奇函数且在上是增加的B.奇函数且在上是增加的C.偶函数且在上是增加的D.偶函数且在上是增加的答案:C解析:y=(sinx+cosx)(sinx-cosx)=sin2x-cos2x=-cos2x,故函数是偶函数,且在上单调递增.2.(2015河南周口高三检测)函数f(x)=cos2x+sinxcosx在区间上的最大值为()A.1B.C.D.2答案:C解析:f(x)=(1+cos2x)+sin2x=sin,∵x∈,∴2x∈,2x+,故f(x)的最大值为.3.(2015河北唐山一模)已知2sin2α=1+cos2α,则tan2α=()A.B.-C.或0D.-或0答案:C解析:因为2sin2α=1+cos2α,所以2sin2α=2cos2α.所以2cosα(2sinα-cosα)=0,解得cosα=0或tanα=.若cosα=0,则α=kπ+,k∈Z,2α=2kπ+π,k∈Z,所以tan2α=0.若tanα=,则tan2α=.综上所述,故选C.4.已知f(x)=sin2x+sinxcosx,则f(x)的最小正周期和一个递增区间分别为()A.π,[0,π]B.2π,C.π,D.2π,答案:C解析:由f(x)=sin2x+sinxcosx=sin2x=sin,则T==π.又∵2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z),∴kπ-≤x≤kπ+(k∈Z)为函数的单调递增区间.故选C.5.已知cos·cos,则sin4θ+cos4θ=()A.B.C.D.导学号〚32470456〛答案:C解析:由coscos,解得sincos,sin,即cos2θ=.sin4θ+cos4θ=(sin2θ+cos2θ)2-2sin2θ·cos2θ=1-2×=1-2×.6.已知tan=-,且<α<π,则等于()A.B.-C.-D.-答案:C解析:=2cosα,由tan=-,得=-,解得tanα=-3.因为<α<π,所以cosα=-.所以原式=2cosα=2=-.7.若f(x)=2tanx-,则f的值为()A.-B.8C.4D.-4答案:B解析:f(x)=2tanx+=2tanx+,∴f=8.8.已知sin,则cos=.答案:-解析:由sin,得cos2=1-2sin2,即cos,则cos=cos=-.9.设f(x)=+sinx+a2sin的最大值为+3,则常数a=.答案:±解析:f(x)=+sinx+a2sin=cosx+sinx+a2sin=sin+a2sin=(+a2)sin.依题意有+a2=+3,则a=±.10.已知函数f(x)=cosx(sinx+cosx)-.(1)若0<α<,且sinα=,求f(α)的值;(2)求函数f(x)的最小正周期及递增区间.解:(方法一)(1)因为0<α<,sinα=,所以cosα=.所以f(α)=.(2)因为f(x)=sinxcosx+cos2x-=sin2x+=sin2x+cos2x=sin,所以T==π.由2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.所以f(x)的单调递增区间为,k∈Z.(方法二)f(x)=sinxcosx+cos2x-=sin2x+=sin2x+cos2x=sin.(1)因为0<α<,sinα=,所以α=,从而f(α)=sinsin.(2)T==π.由2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.所以f(x)的单调递增区间为,k∈Z.11.已知函数f(x)=cosx·sincos2x+,x∈R.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在闭区间上的最大值和最小值.解:(1)由已知,有f(x)=cosx·cos2x+sinx·cosx-cos2x+=sin2x-(1+cos2x)+=sin2x-cos2x=sin.所以,f(x)的最小正周期T==π.(2)因为f(x)在区间上是减函数,在区间上是增函数,f=-,f=-,f,所以,函数f(x)在闭区间上的最大值为,最小值为-.导学号〚32470457〛能力提升组12.(2015兰州检测)在斜三角形ABC中,sinA=-cosBcosC,且tanB·tanC=1-,则角A的值为()A.B.C.D.导学号〚32470458〛答案:A解析:由题意知,sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=-cosBcosC,等式两边同除以cosBcosC得tanB+tanC=-,又tan(B+C)==-1=-tanA,即tanA=1,所以A=.13.(2015广东中山一模)已知cosα=,cos(α+β)=-,且α,β∈,则cos(α-β)的值等于()A.-B.C.-D.导学号〚32470459〛答案:D解析:∵α∈,∴2α∈(0,π).∵cosα=,∴cos2α=2cos2α-1=-,∴sin2α=,而α,β∈,∴α+β∈(0,π),∴sin(α+β)=,∴cos(α-β)=cos[2α-(α+β)]=cos2αcos(α+β)+sin2αsin(α+β)=.14.已知函数f(x)=sin+sin-2cos2(x∈R,ω>0),则f(x)的值域为.答案:[-3,1]解析:f(x)=sin+sin-2cos2=2sinωxcos-2cos2sinωx-cosωx-1=2sin-1,又sin∈[-1,1],∴f(x)的值域为[-3,1].15.已知函数f(x)=2-(sinx-cosx)2,则f(x)的最小正周期为;函数f(x)在区间上的最大值为.导学号〚32470460〛答案:π2解析:因为f(x)=2-(sinx-cosx)2=2-(3sin2x+cos2x-2sinxcosx)=2-(1+2sin2x-sin2x)=1-2sin2x+sin2x=cos2x+sin2x=2sin,所以f(x)的周期为T==π.当x∈时,2x∈,2x+,当x=时,函数取得最大值f=2.16.已知f(x)=sin2x-2sin·sin.(1)若tanα=2,求f(α)的值;(2)若x∈,求f(x)的取值范围.解:(1)f(x)=(sin2x+sinxcosx)+2sin·cossin2x+sin=(sin2x-cos2x)+cos2x=(sin2x+cos2x)+.由tanα=2,得sin2α=.cos2α==-.所以f(α)=(sin2α+cos2α)+.(2)由(1)得f(x)=(sin2x+cos2x)+=sin.由x∈,得2x+.所以-≤sin≤1,所以0≤f(x)≤,所以f(x)的取值范围是.导学号〚32470461〛
