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高中数学 第一章 导数及其应用 1.7.1 定积分在几何中的应用 1.7.2 定积分在物理中的应用练习 新人教A版选修2-2-新人教A版高二选修2-2数学试题VIP免费

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1.7.1定积分在几何中的应用1.7.2定积分在物理中的应用[A基础达标]1.曲线y=x3与直线y=x所围成图形的面积等于()A.(x-x3)dxB.(x3-x)dxC.2(x-x3)dxD.2(x-x3)dx解析:选C.由求得直线y=x与曲线y=x3的交点分别为(-1,-1),(1,1),由于两函数都是奇函数,根据对称性得S=2(x-x3)dx.2.已知自由落体运动的速度v=gt(g是常数),则做自由落体运动的物体从时刻t=0到t=t0所走的路程为()A.B.gtC.D.解析:选C.由定积分的物理意义,得所走的路程为s=gtdt=gt2=gt.3.如图所示,阴影区域是由函数y=cosx的一段图象与x轴围成的封闭图形,那么这个阴影区域的面积是()A.1B.2C.D.π解析:选B.这个阴影区域的面积是S=-cosxdx=2.4.如图中阴影部分的面积是()A.e+B.e+-1C.e+-2D.e-解析:选C.阴影部分的面积S=(ex-e-x)dx=(ex+e-x)|=e+-2.5.由曲线y=x2,y=x3围成的封闭图形面积为()A.B.C.D.解析:选A.作出曲线y=x2,y=x3的草图,所求面积为图中阴影部分的面积.解方程组得曲线y=x2,y=x3交点的横坐标为x=0及x=1.因此,所求图形的面积为S=(x2-x3)dx=|=-=.6.若1N的力能使弹簧伸长2cm,则使弹簧伸长12cm时克服弹力所做的功为________.1解析:弹簧的伸长与所受到的拉力成正比,设F=kx,求得k=50,所以F(x)=50x,所以W=50xdx=25x2|=0.36(J).答案:0.36J7.如图,在边长为2的正方形ABCD中,M是AB的中点,则过C,M,D三点的抛物线与CD围成的阴影部分的面积是________.解析:由题意,建立如图所示的平面直角坐标系,D(2,1),设抛物线方程为y2=2px(p>0),则p=,所以y=±,所以S=2dx=2××x|=.答案:8.如图,已知点A,点P(x0,y0)(x0>0)在曲线y=x2上,若阴影部分面积与△OAP面积相等,则x0=________.解析:由题意得x2dx=××x0,即x=x0,解得x0=.答案:9.求由抛物线y2=8x(y>0)与直线x+y-6=0及y=0所围成图形的面积.解:法一:由解得交点坐标为(2,4),如图,所以所求面积为A=dx+(6-x)dx=2×x|+|=×2+(36-18)-(12-2)=.法二:由解得交点坐标为(2,4),如图,所以所求面积为A=dy=|=24-8-×43=.10.A、B两站相距7.2km,一辆电车从A站开往B站,电车开出ts后到达途中C点,这一段的速度为1.2tm/s,到C点的速度为24m/s,从C点到B站前的D点以等速行驶,从D点开始刹车,经ts后,速度为(24-1.2t)m/s,在B站恰好停车,试求:(1)A,C间的距离;(2)B,D间的距离.解:(1)设A到C的时间为t1s,则1.2t1=24,解得t1=20.则AC=1.2tdt=0.6t2|=240(m).即A,C间的距离为240m.(2)设D到B的时间为t2s,2则24-1.2t2=0,解得t2=20,则BD=(24-1.2t)dt=(24t-0.6t2)|=240(m).即B,D间的距离为240m.[B能力提升]11.如图,求由曲线y=-x2,4y=-x2及直线y=-1所围图形的面积为()A.B.C.D.解析:选B.由图形的对称性知,所求图形面积为位于y轴右侧图形面积的2倍.法一:由得C(1,-1).同理得D(2,-1).则所求图形的面积S=2=2=2=.法二:同法一得C(1,-1),D(2,-1).则所求图形的面积为S=2(2-)dy=2dy=2××(-y)|=.12.过原点的直线l与抛物线y=x2-2ax(a>0)所围成的图形面积为a3,则直线l的方程为________.解析:设直线l的方程为y=kx,由得交点坐标为(0,0),(2a+k,2ak+k2),图形面积S=[kx-(x2-2ax)]dx=|=-==a3,所以k=a,所以直线l的方程为y=ax.答案:y=ax13.求正弦曲线y=sinx与余弦曲线y=cosx与直线x=-,x=围成的图形的面积.解:如图,画出y=sinx与y=cosx在上的图象,它们共有三个交点,分别为,,.在上,cosx>sinx,在上,sinx>cosx,所以所求的面积S=(cosx-sinx)dx+(sinx-cosx)dx=2(sinx-cosx)dx=-2(sinx+cosx)=4.14.(选做题)如图,设点P在曲线y=x2上,从原点向A(2,4)移动,记直线OP与曲线y=x2所围成的图形的面积为S1,直线OP、直线x=2与曲线y=x2所围成的图形的面积为S2.3(1)当S1=S2时,求点P的坐标;(2)当S1+S2有最小值时,求点P的坐标和最小值.解:(1)设点P的横坐标为t(00.所以当t=时,S1+S2有最小值-,此时点P的坐标为(,2).4

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