高中数学 第一章 导数及其应用 1.7.1 定积分在几何中的应用 1.7.2 定积分在物理中的应用练习 新人教A版选修2-2-新人教A版高二选修2-2数学试题VIP免费

1.7.1定积分在几何中的应用1.7.2定积分在物理中的应用[A基础达标]1．曲线y＝x3与直线y＝x所围成图形的面积等于()A.(x－x3)dxB.(x3－x)dxC．2(x－x3)dxD．2(x－x3)dx解析：选C.由求得直线y＝x与曲线y＝x3的交点分别为(－1，－1)，(1，1)，由于两函数都是奇函数，根据对称性得S＝2(x－x3)dx.2．已知自由落体运动的速度v＝gt(g是常数)，则做自由落体运动的物体从时刻t＝0到t＝t0所走的路程为()A.B．gtC.D.解析：选C.由定积分的物理意义，得所走的路程为s＝gtdt＝gt2＝gt.3．如图所示，阴影区域是由函数y＝cosx的一段图象与x轴围成的封闭图形，那么这个阴影区域的面积是()A．1B．2C.D．π解析：选B.这个阴影区域的面积是S＝－cosxdx＝2.4.如图中阴影部分的面积是()A．e＋B．e＋－1C．e＋－2D．e－解析：选C.阴影部分的面积S＝(ex－e－x)dx＝(ex＋e－x)|＝e＋－2.5．由曲线y＝x2，y＝x3围成的封闭图形面积为()A.B.C.D.解析：选A.作出曲线y＝x2，y＝x3的草图，所求面积为图中阴影部分的面积．解方程组得曲线y＝x2，y＝x3交点的横坐标为x＝0及x＝1.因此，所求图形的面积为S＝(x2－x3)dx＝|＝－＝.6．若1N的力能使弹簧伸长2cm，则使弹簧伸长12cm时克服弹力所做的功为________．1解析：弹簧的伸长与所受到的拉力成正比，设F＝kx，求得k＝50，所以F(x)＝50x，所以W＝50xdx＝25x2|＝0.36(J)．答案：0.36J7．如图，在边长为2的正方形ABCD中，M是AB的中点，则过C，M，D三点的抛物线与CD围成的阴影部分的面积是________．解析：由题意，建立如图所示的平面直角坐标系，D(2，1)，设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，则p＝，所以y＝±，所以S＝2dx＝2××x|＝.答案：8．如图，已知点A，点P(x0，y0)(x0>0)在曲线y＝x2上，若阴影部分面积与△OAP面积相等，则x0＝________．解析：由题意得x2dx＝××x0，即x＝x0，解得x0＝.答案：9．求由抛物线y2＝8x(y＞0)与直线x＋y－6＝0及y＝0所围成图形的面积．解：法一：由解得交点坐标为(2，4)，如图，所以所求面积为A＝dx＋(6－x)dx＝2×x|＋|＝×2＋(36－18)－(12－2)＝.法二：由解得交点坐标为(2，4)，如图，所以所求面积为A＝dy＝|＝24－8－×43＝.10．A、B两站相距7.2km，一辆电车从A站开往B站，电车开出ts后到达途中C点，这一段的速度为1.2tm/s，到C点的速度为24m/s，从C点到B站前的D点以等速行驶，从D点开始刹车，经ts后，速度为(24－1.2t)m/s，在B站恰好停车，试求：(1)A，C间的距离；(2)B，D间的距离．解：(1)设A到C的时间为t1s，则1.2t1＝24，解得t1＝20.则AC＝1.2tdt＝0.6t2|＝240(m)．即A，C间的距离为240m.(2)设D到B的时间为t2s，2则24－1.2t2＝0，解得t2＝20，则BD＝(24－1.2t)dt＝(24t－0.6t2)|＝240(m)．即B，D间的距离为240m.[B能力提升]11．如图，求由曲线y＝－x2，4y＝－x2及直线y＝－1所围图形的面积为()A.B.C.D.解析：选B.由图形的对称性知，所求图形面积为位于y轴右侧图形面积的2倍．法一：由得C(1，－1)．同理得D(2，－1)．则所求图形的面积S＝2＝2＝2＝.法二：同法一得C(1，－1)，D(2，－1)．则所求图形的面积为S＝2(2－)dy＝2dy＝2××(－y)|＝.12．过原点的直线l与抛物线y＝x2－2ax(a>0)所围成的图形面积为a3，则直线l的方程为________．解析：设直线l的方程为y＝kx，由得交点坐标为(0，0)，(2a＋k，2ak＋k2)，图形面积S＝[kx－(x2－2ax)]dx＝|＝－＝＝a3，所以k＝a，所以直线l的方程为y＝ax.答案：y＝ax13．求正弦曲线y＝sinx与余弦曲线y＝cosx与直线x＝－，x＝围成的图形的面积．解：如图，画出y＝sinx与y＝cosx在上的图象，它们共有三个交点，分别为，，.在上，cosx>sinx，在上，sinx>cosx，所以所求的面积S＝(cosx－sinx)dx＋(sinx－cosx)dx＝2(sinx－cosx)dx＝－2(sinx＋cosx)＝4.14．(选做题)如图，设点P在曲线y＝x2上，从原点向A(2，4)移动，记直线OP与曲线y＝x2所围成的图形的面积为S1，直线OP、直线x＝2与曲线y＝x2所围成的图形的面积为S2.3(1)当S1＝S2时，求点P的坐标；(2)当S1＋S2有最小值时，求点P的坐标和最小值．解：(1)设点P的横坐标为t(00.所以当t＝时，S1＋S2有最小值－，此时点P的坐标为(，2)．4