2.3.1抛物线及其标准方程一、选择题1．若A是定直线l外一定点，则过点A且与直线l相切的圆的圆心轨迹为()A．直线B．椭圆C．线段D．抛物线[答案]D[解析]因为圆过点A，所以圆心到A的距离为圆的半径；又圆与直线相切，所以圆心到直线的距离也等于圆的半径，且点A是定直线l外一定点，故圆心的轨迹为抛物线．2．如果抛物线y2＝2px的准线是直线x＝－2，那么它的焦点坐标为()A．(1,0)B．(2,0)C．(3,0)D．(－1,0)[答案]B[解析]因为准线方程为x＝－2＝－，所以焦点为(，0)，即(2,0)．3．顶点在坐标原点，对称轴为坐标轴，过点(－2,3)的抛物线方程是()A．y2＝xB．x2＝yC．y2＝－x或x2＝－yD．y2＝－x或x2＝y[答案]D[解析] 点(－2,3)在第二象限，∴设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)或x2＝2p′y(p′>0)，又点(－2,3)在抛物线上，∴p＝，p′＝，∴抛物线方程为y2＝－x或x2＝y.4．抛物线y2＝4x上一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是()A．0B．C．D．[答案]A[解析]设M(x0，y0)，则x0＋1＝1，∴x0＝0，∴y0＝0.5．过点F(0,3)且和直线y＋3＝0相切的动圆圆心的轨迹方程为()A．y2＝12xB．y2＝－12xC．x2＝12yD．x2＝－12y[答案]C[解析]由题意，知动圆圆心到点F(0,3)的距离等于到定直线y＝－3的距离，故动圆圆心的轨迹是以F为焦点，直线y＝－3为准线的抛物线．6．(2014·云南景洪市一中期末)从抛物线y2＝4x图象上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|＝5，设抛物线焦点为F，则△MPF的面积为()A．10B．8C．6D．4[答案]A[解析]设P(x0，y0)， |PM|＝5，∴x0＝4，∴y0＝±4，∴S△MPF＝|PM|·|y0|＝10.二、填空题7．若抛物线y2＝2px的焦点坐标为(1,0)，则p＝________，准线方程为________.[答案]2x＝－1[解析]本题考查抛物线的焦点坐标及准线方程.由＝1知p＝2，则准线方程为x＝－＝－1.8．以双曲线－＝1的中心为顶点，左焦点为焦点的抛物线方程是__________.[答案]y2＝－20x[解析] 双曲线的左焦点为(－5,0)，故设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)，又p＝10，∴y2＝－20x.9.如图所示，设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点A(0,2)．若线段FA的中点B在抛物线上，则B点到该抛物线准线的距离为________.[答案][解析]由已知得B点的纵坐标为1，横坐标为，即B(，1)，将其代入y2＝2px得1＝2p×，解得p＝，则B点到准线的距离为＋＝p＝.三、解答题10.过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F任作一条直线，交抛物线于P1，P2两点，求证：以P1P2为直径的圆和该抛物线的准线相切．[证明]设线段P1P2的中点为P0，过P1，P2，P0分别向准线l引垂线，垂足分别为Q1，Q2，Q0，如图所示．根据抛物线的定义，得|P1F|＝|P1Q1|，|P2F|＝|P2Q2|.∴|P1P2|＝|P1F|＋|P2F|＝|P1Q1|＋|P2Q2|. P1Q1∥P0Q0∥P2Q2，|P1P0|＝|P0P2|，∴|P0Q0|＝(|P1Q1|＋|P2Q2|)＝|P1P2|.由此可知，P0Q0是以P1P2为直径的圆P0的半径，且P0Q0⊥l，因此，圆P0与准线相切．一、选择题1．(2015·西安质检)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的斜率为，且右焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，则该双曲线的离心率等于()A．B．C．2D．2[答案]B[解析] 抛物线y2＝4x的焦点(，0)为双曲线的右焦点，∴c＝，又＝，结合a2＋b2＝c2，得a＝1，∴e＝，故选B．2．抛物线y2＝8x的焦点到直线x－y＝0的距离是()A．2B．2C．D．1[答案]D[解析]本题考查了抛物线y2＝2px的焦点坐标及点到直线的距离公式．由y2＝8x可得其焦点坐标(2,0)，根据点到直线的距离公式可得d＝＝1.3．若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆＋＝1的右焦点重合，则p的值为()A．－2B．2C．－4D．4[答案]D[解析]抛物线的焦点为F(，0)，椭圆中c2＝6－2＝4，∴c＝2，其右焦点为(2,0)，∴＝2，∴p＝4.4．O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝4x的焦点，P为C上一点，若|PF|＝4，则△POF的面积为()A．2B．2C．2D．4[答案]C[解析]设P(x0，y0)，则由抛物线的焦半径公式得|PF|＝x0＋＝4，x0＝3代入抛物线的方程，得|y0|＝2，S△POF＝|y0|·|OF|＝2，选A，涉及到抛物线的焦点三角形问题，要考虑焦半径公式．二、填空题5．点M(5,3)到抛物线x2＝ay(a>0)的准线的距离为6，则抛物线的方程是________.[答案]x2＝12y[解析]抛物线x2＝ay的准线方程为y＝－，由题意...
