周周回馈练(三)(满分75分)一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．已知函数f(x)在区间[a，c]上的图象如图所示，则阴影部分的面积S为()A.f(x)dxB.f(x)dx－f(x)dxC．－f(x)dx－f(x)dxD．－f(x)dx＋f(x)dx答案B解析由题图，知在区间[a，b]上，f(x)≥0，在区间[b，c]上，f(x)≤0，所以所求阴影部分的面积S＝f(x)dx－f(x)dx，故选B.2.lim写成定积分的形式，可记为()A.sinxdxB.sinxdxC.sinxdxD.dx答案A解析由定积分的定义，函数f(x)在[a，b]上的定积分是一个和式(ξi)的极限，即f(x)dx＝lim(ξi).而lim＝lim，即函数sinx在区间[0，π]上的定积分，故选A.3．如图，设D是图中边长为4的正方形区域，E是D内函数y＝x2图象下方的点构成的区域，向D中随机投一点，则该点落入E中的概率为()1A.B.C.D.答案C解析由已知条件可得SD＝42＝16，SE＝2x2dx＝2×x3|＝，∴点落入E中的概率为P＝＝＝，故选C.4．图中阴影部分的面积用定积分表示为()A.2xdxB.(2x－1)dxC.(2x＋1)dxD.(1－2x)dx答案B解析根据定积分的几何意义可知，阴影部分的面积为2xdx－1dx＝(2x－1)dx，故选B.5．若f(x)＝x2＋2f(x)dx，则f(x)dx等于()A．－1B．－C.D．1答案B解析因为f(x)dx是常数，所以f′(x)＝2x，所以可设f(x)＝x2＋c(c为常数)，所以c＝2f(x)dx＝2(x2＋c)dx＝2|，解得c＝－，f(x)dx＝(x2＋c)dx＝dx＝|＝－.6．已知函数f(a)＝sinxdx，则f＝()A．1B．1－cos1C．0D．cos1－1答案B解析f＝sinxdx＝－cosx＝1，f＝f(1)＝sinxdx＝－cosx|＝1－cos1.二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．计算定积分|x＋3|dx的值为________．答案5解析因为f(x)＝|x＋3|＝所以|x＋3|dx＝(－x－3)dx＋(x＋3)dx，分别取F1(x)＝－x2－3x，F2(x)＝x2＋3x，则F1′(x)＝－x－3，F2′(x)＝x＋3，所以(－x－3)dx＋(x＋3)dx＝|＋＝5，即|x＋3|dx＝5.8．如果10N的力能使弹簧压缩10cm，为在弹簧限度内将弹簧拉长6cm，则力所做的功为________．2答案0.18J解析根据胡克定律F＝kx，得k＝＝＝100(N/m)，∴W＝Fdx＝100xdx＝0.18J.9．若f(x)＝则f(x)dx＝________.答案－e2＋e解析f(x)dx＝|x|dx＋(－ex)dx＝xdx＋(－ex)dx＝x2|＋(－ex)|＝－e2＋e.三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分)10．过原点的直线l与抛物线：y＝x2－2ax(a＞0)所围成的图形面积为a3，求直线l的方程．解设l的方程为y＝kx，则与y＝x2－2ax联立，得x＝0或x＝2a＋k.①若2a＋k≥0，则S＝(kx－x2＋2ax)dx＝＝a3，∴k＝a，∴l的方程为y＝ax.②若2a＋k＜0，则S＝[(k＋2a)x－x2]dx＝－＝a3，∴k＝－5a，∴l的方程为y＝－5ax，∴直线l的方程为y＝ax或y＝－5ax.11．已知A，B相距400m，甲、乙两物体都沿直线从A运动到B，甲物体的速度为v(t)＝2tm/s，乙物体的速度为v(t)＝(t＋5)2m/s，若甲比乙先出发5s，问从A到B的过程中，甲、乙两物体能否相遇．设f(t)＝t3－18t2－125，则f(5)<0，f(20)>0，故f(t)＝0在(5,20)内必有根，记为t0，因此s甲＝s乙＝t.所以从A到B的过程中，甲、乙两物体可以相遇．12．设f(x)是二次函数，其图象过点(0,1)，且在点(－2，f(－2))处的切线方程为2x＋y＋3＝0.(1)求函数f(x)的表达式；3(2)求函数f(x)的图象与两坐标轴所围成的图形的面积．解(1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．∵f(x)的图象过点(0,1)，∴c＝1.又∵在点(－2，f(－2))处的切线方程为2x＋y＋3＝0，f′(x)＝2ax＋b，∴即解得∴f(x)＝x2＋2x＋1.(2)依题意，函数f(x)的图象与两坐标轴所围成的图形如图中阴影部分所示，故所求面积S＝(x2＋2x＋1)dx＝|＝.4
