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高考数学 考点 第七章 数列 等比数列及其前n项和(理)-人教版高三全册数学试题VIP免费

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等比数列及其前n项和1.等比数列的有关概念(1)定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零),那么这个数列叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母q表示,定义的表达式为=q(n∈N*,q为非零常数).(2)等比中项:如果a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项.即G是a与b的等比中项⇒a,G,b成等比数列⇒G2=ab.2.等比数列的有关公式(1)通项公式:an=a1qn-1.(2)前n项和公式:Sn=3.等比数列的常用性质(1)通项公式的推广:an=am·qn-m(n,m∈N*).(2)若m+n=p+q=2k(m,n,p,q,k∈N*),则am·an=ap·aq=a.(3)若数列{an},{bn}(项数相同)是等比数列,则{λan},,{a},{an·bn},(λ≠0)仍然是等比数列.(4)在等比数列{an}中,等距离取出若干项也构成一个等比数列,即an,an+k,an+2k,an+3k,…为等比数列,公比为qk.4.在等比数列{an}中,若Sn为其前n项和,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n也成等比数列(n为偶数且q=-1除外).概念方法微思考1.将一个等比数列的各项取倒数,所得的数列还是一个等比数列吗?若是,这两个等比数列的公比有何关系?提示仍然是一个等比数列,这两个数列的公比互为倒数.2.任意两个实数都有等比中项吗?提示不是.只有同号的两个非零实数才有等比中项.3.“b2=ac”是“a,b,c”成等比数列的什么条件?提示必要不充分条件.因为b2=ac时不一定有a,b,c成等比数列,比如a=0,b=0,c=1.但a,b,c成等比数列一定有b2=ac.1.(2020•新课标Ⅰ)设是等比数列,且,,则A.12B.24C.30D.32【答案】D【解析】是等比数列,且,则,即,,故选.2.(2020•新课标Ⅱ)记为等比数列的前项和.若,,则A.B.C.D.【答案】B【解析】设等比数列的公比为,,,,,,,,,,故选.3.(2019•全国)A.B.C.D.【答案】D【解析】数列3,,,,是首项为3,公比为的等比数列;且是第项;.故选.4.(2019•浙江)设,,数列满足,,,则A.当时,B.当时,C.当时,D.当时,【答案】A【解析】对于,令,得,取,,当时,,故错误;对于,令,得或,取,,,,当时,,故错误;对于,令,得,取,,,,当时,,故错误;对于,,,,,递增,当时,,,,.故正确.故选.5.(2019•新课标Ⅲ)已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15,且,则A.16B.8C.4D.2【答案】C【解析】设等比数列的公比为,则由前4项和为15,且,有,,.故选.6.(2020•江苏)设是公差为的等差数列,是公比为的等比数列.已知数列的前项和,则的值是__________.【答案】4【解析】因为的前项和,因为是公差为的等差数列,设首项为;是公比为的等比数列,设首项为,所以的通项公式,所以其前项和,当中,当公比时,其前项和,所以的前项和,显然没有出现,所以,则的前项和为,所以,由两边对应项相等可得:解得:,,,,所以,故答案为:4.7.(2020•新课标Ⅰ)数列满足,前16项和为540,则__________.【答案】7【解析】由,当为奇数时,有,可得,,累加可得;当为偶数时,,可得,,,.可得..,,即.故答案为:7.8.(2019•上海)已知数列前项和为,且满足,则__________.【答案】【解析】由,①得,即,且,②①②得:.数列是等比数列,且..故答案为:.9.(2019•新课标Ⅰ)设为等比数列的前项和.若,,则__________.【答案】【解析】等比数列的前项和,,,,,整理可得,,解可得,,则.故答案为:.10.(2019•新课标Ⅰ)记为等比数列的前项和.若,,则.【答案】【解析】在等比数列中,由,得,即,,则,故答案为:.11.(2020•北京)已知是无穷数列.给出两个性质:①对于中任意两项,,在中都存在一项,使得;②对于中任意一项,在中都存在两项,,使得.(Ⅰ)若,2,,判断数列是否满足性质①,说明理由;(Ⅱ)若,2,,判断数列是否同时满足性质①和性质②,说明理由;(Ⅲ)若是递增数列,且同时满足性质①和性质②,证明:为等比数列.【解析】(Ⅰ)不满足,理由:,不存在一项使得.(Ⅱ)数列同时满足性质①和性质②,理由:对于任意的和,满足,因为,且,所以,则必...

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