高考数学 考点 第七章 数列 等比数列及其前n项和（理）-人教版高三全册数学试题VIP免费

等比数列及其前n项和1．等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为＝q(n∈N*，q为非零常数)．(2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即G是a与b的等比中项⇒a，G，b成等比数列⇒G2＝ab.2．等比数列的有关公式(1)通项公式：an＝a1qn－1.(2)前n项和公式：Sn＝3．等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝am·qn－m(n，m∈N*)．(2)若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则am·an＝ap·aq＝a.(3)若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}，，{a}，{an·bn}，(λ≠0)仍然是等比数列．(4)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk.4．在等比数列{an}中，若Sn为其前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等比数列(n为偶数且q＝－1除外)．概念方法微思考1．将一个等比数列的各项取倒数，所得的数列还是一个等比数列吗？若是，这两个等比数列的公比有何关系？提示仍然是一个等比数列，这两个数列的公比互为倒数．2．任意两个实数都有等比中项吗？提示不是．只有同号的两个非零实数才有等比中项．3．“b2＝ac”是“a，b，c”成等比数列的什么条件？提示必要不充分条件．因为b2＝ac时不一定有a，b，c成等比数列，比如a＝0，b＝0，c＝1.但a，b，c成等比数列一定有b2＝ac.1．（2020•新课标Ⅰ）设是等比数列，且，，则A．12B．24C．30D．32【答案】D【解析】是等比数列，且，则，即，，故选．2．（2020•新课标Ⅱ）记为等比数列的前项和．若，，则A．B．C．D．【答案】B【解析】设等比数列的公比为，，，，，，，，，，故选．3．（2019•全国）A．B．C．D．【答案】D【解析】数列3，，，，是首项为3，公比为的等比数列；且是第项；．故选．4．（2019•浙江）设，，数列满足，，，则A．当时，B．当时，C．当时，D．当时，【答案】A【解析】对于，令，得，取，，当时，，故错误；对于，令，得或，取，，，，当时，，故错误；对于，令，得，取，，，，当时，，故错误；对于，，，，，递增，当时，，，，．故正确．故选．5．（2019•新课标Ⅲ）已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则A．16B．8C．4D．2【答案】C【解析】设等比数列的公比为，则由前4项和为15，且，有，，．故选．6．（2020•江苏）设是公差为的等差数列，是公比为的等比数列．已知数列的前项和，则的值是__________．【答案】4【解析】因为的前项和，因为是公差为的等差数列，设首项为；是公比为的等比数列，设首项为，所以的通项公式，所以其前项和，当中，当公比时，其前项和，所以的前项和，显然没有出现，所以，则的前项和为，所以，由两边对应项相等可得：解得：，，，，所以，故答案为：4．7．（2020•新课标Ⅰ）数列满足，前16项和为540，则__________．【答案】7【解析】由，当为奇数时，有，可得，，累加可得；当为偶数时，，可得，，，．可得．．，，即．故答案为：7．8．（2019•上海）已知数列前项和为，且满足，则__________．【答案】【解析】由，①得，即，且，②①②得：．数列是等比数列，且．．故答案为：．9．（2019•新课标Ⅰ）设为等比数列的前项和．若，，则__________．【答案】【解析】等比数列的前项和，，，，，整理可得，，解可得，，则．故答案为：．10．（2019•新课标Ⅰ）记为等比数列的前项和．若，，则．【答案】【解析】在等比数列中，由，得，即，，则，故答案为：．11．（2020•北京）已知是无穷数列．给出两个性质：①对于中任意两项，，在中都存在一项，使得；②对于中任意一项，在中都存在两项，，使得．（Ⅰ）若，2，，判断数列是否满足性质①，说明理由；（Ⅱ）若，2，，判断数列是否同时满足性质①和性质②，说明理由；（Ⅲ）若是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明：为等比数列．【解析】（Ⅰ）不满足，理由：，不存在一项使得．（Ⅱ）数列同时满足性质①和性质②，理由：对于任意的和，满足，因为，且，所以，则必...