解三角形一、选择题1．在△ABC中，AB＝c，AC＝b，BC＝a，下列等式中总能成立的是()A．asinA＝bsinBB．bsinC＝csinAC．absinC＝bcsinBD．asinC＝csinAD[由正弦定理＝＝，得asinC＝csinA．]2．在△ABC中，已知a＝2，则bcosC＋ccosB等于()A．1B．C．2D．4C[bcosC＋ccosB＝b·＋c·＝＝a＝2.]3．在△ABC中，A＞B，则下列不等式中不一定正确的是()A．sinA＞sinBB．cosA＜cosBC．sin2A＞sin2BD．cos2A＜cos2BC[A＞B⇔a＞b⇔sinA＞sinB，A正确．由于(0，π)上，y＝cosx单调递减，∴cosA＜cosB，B正确． sinA＞sinB＞0，∴sin2A＞sin2B,1－2sin2A<1－2sin2B，∴cos2A＜cos2B，D正确．]4．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为()A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．不确定A[ bcosC＋ccosB＝asinA，∴sinBcosC＋sinCcosB＝sin(B＋C)＝sinA＝sin2A． sinA≠0，∴sinA＝1，A＝，故△ABC为直角三角形，故选A．]5．在△ABC中，已知b2＝ac且c＝2a，则cosB等于()A．B．C．D．B[ b2＝ac，c＝2a，∴b2＝2a2，∴cosB＝＝＝.]6．在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝3∶2∶3，则cosC的值为()A．B．－C．D．－A[ 在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝3∶2∶3，∴a∶b∶c＝3∶2∶3，设a＝3k，b＝2k，c＝3k，则cosC＝＝＝.]7．已知△ABC的面积S＝a2－(b2＋c2)，则cosA等于()A．－4B．C．±D．－D[ cosA＝，面积S＝bcsinA＝a2－(b2＋c2)，∴bcsinA＝－2bccosA，∴sinA＝－4cosA，又sin2A＋cos2A＝1，联立解得cosA＝－.]8．已知甲、乙两地距丙地的距离均为100km，且甲地在丙地的北偏东20°处，乙地在丙地的南偏东40°处，则甲乙两地的距离为()A．100kmB．200kmC．100kmD．100kmD[由题意，如图所示，OA＝OB＝100km，∠AOB＝120°，∴甲乙两地的距离为AB＝＝100km，故选D．]9．在△ABC中，B＝30°，AB＝2，AC＝2，那么△ABC的面积是()A．2B．C．2或4D．或2D[由c＝AB＝2，b＝AC＝2，B＝30°，根据正弦定理＝，得sinC＝＝＝. ∠C为三角形的内角，∴∠C＝60°或120°，∴∠A＝90°或30°.在△ABC中，由c＝2，b＝2，∠A＝90°或30°，则△ABC面积S＝bcsinA＝2或.故选D．]10．在△ABC中，cos2＝，则△ABC是()A．正三角形B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形B[ cos2＝，∴＝，∴cosB＝，∴＝，∴a2＋c2－b2＝2a2，即a2＋b2＝c2，∴△ABC为直角三角形．]11．一角槽的横断面如图所示，四边形ADEB是矩形，且α＝50°，β＝70°，AC＝90mm，BC＝150mm，则DE的长等于()A．210mmB．200mmC．198mmD．171mmA[∠ACB＝70°＋50°＝120°，AB2＝AC2＋BC2－2·AC·BC·cos∠ACB＝902＋1502－2×90×150×cos120°＝44100，AB＝210，即DE＝210mm.]12．在△ABC中，B＝，BC边上的高等于BC，则sinA＝()A．B．C．D．D[利用勾股定理及三角形的面积公式求解．如图，AD为△ABC中BC边上的高．设BC＝a，由题意知AD＝BC＝a，B＝，易知BD＝AD＝a，DC＝a.在Rt△ABD中，由勾股定理得，AB＝＝a.同理，在Rt△ACD中，AC＝＝a. S△ABC＝AB·AC·sin∠BAC＝BC·AD，∴×a×a·sin∠BAC＝a·a，∴sin∠BAC＝＝.]13．已知在△ABC中，sinA＋sinB＝sinC(cosA＋cosB)，则△ABC的形状是()A．锐角三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．直角三角形D[由正弦定理和余弦定理得a＋b＝c，即2a2b＋2ab2＝ab2＋ac2－a3＋a2b＋bc2－b3，∴a2b＋ab2＋a3＋b3＝ac2＋bc2，∴(a＋b)(a2＋b2)＝(a＋b)c2，∴a2＋b2＝c2，∴△ABC为直角三角形，故选D．]14．在△ABC中，A∶B＝1∶2，∠ACB的平分线CD把△ABC的面积分成3∶2两部分，则cosA等于()A．B．C．D．0C[ CD为∠ACB的平分线，∴D到AC与D到BC的距离相等，∴△ACD中AC边上的高与△BCD中BC边上的高相等． S△ACD∶S△BCD＝3∶2，∴＝.由正弦定理＝，又 B＝2A，∴＝，即＝，∴cosA＝.]15.如图，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100米到达B后，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD＝50米，山坡对于地平面的坡角为θ，则cosθ＝()A．2＋1B．2－1C．－1D．＋1C[在△ABC中，BC＝＝＝50(－)，在△BCD中...
